Номер 12, страница 206 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Проверьте себя (тест). Глава 4. Системы уравнений - номер 12, страница 206.

Условие.

12 Какая из пар чисел является решением системы уравнений

$\begin{cases} x+y=-5 \\ x^2-y^2=13 \end{cases}$?

1) (2; -7)

2) (-5; 0)

3) (-3,8; -1,2)

4) (-3,2; -1,8)

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Чтобы определить, какая из пар чисел является решением системы уравнений, можно решить систему аналитически, либо проверить каждую из предложенных пар путем подстановки. Рассмотрим оба способа.

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x + y = -5 \\ x^2 - y^2 = 13 \end{cases} $$

Способ 1: Аналитическое решение

Во втором уравнении системы используется формула разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Преобразуем второе уравнение:

$x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) = 13$

Теперь мы можем подставить значение $x+y$ из первого уравнения ($x+y = -5$) в преобразованное второе уравнение:

$(x-y) \cdot (-5) = 13$

Отсюда найдем значение выражения $x-y$:

$x-y = \frac{13}{-5} = -2,6$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:

$$ \begin{cases} x + y = -5 \\ x - y = -2,6 \end{cases} $$

Сложим эти два уравнения, чтобы найти $x$:

$(x+y) + (x-y) = -5 + (-2,6)$

$2x = -7,6$

$x = \frac{-7,6}{2} = -3,8$

Подставим найденное значение $x$ в первое уравнение ($x+y=-5$):

$-3,8 + y = -5$

$y = -5 + 3,8 = -1,2$

Таким образом, решение системы — пара чисел $(-3,8; -1,2)$, что соответствует варианту 3.

Способ 2: Проверка предложенных вариантов

Проверим каждую пару чисел, подставив ее в оба уравнения системы.

1) (2; –7)

Проверяем первое уравнение: $x+y = 2 + (-7) = -5$. Верно ($-5 = -5$).

Проверяем второе уравнение: $x^2 - y^2 = 2^2 - (-7)^2 = 4 - 49 = -45$. Неверно ($-45 \neq 13$).

Пара не является решением.

2) (–5; 0)

Проверяем первое уравнение: $x+y = -5 + 0 = -5$. Верно ($-5 = -5$).

Проверяем второе уравнение: $x^2 - y^2 = (-5)^2 - 0^2 = 25 - 0 = 25$. Неверно ($25 \neq 13$).

Пара не является решением.

3) (–3,8; –1,2)

Проверяем первое уравнение: $x+y = -3,8 + (-1,2) = -5$. Верно ($-5 = -5$).

Проверяем второе уравнение: $x^2 - y^2 = (-3,8)^2 - (-1,2)^2 = 14,44 - 1,44 = 13$. Верно ($13 = 13$).

Поскольку оба уравнения выполняются, эта пара является решением системы.

4) (–3,2; –1,8)

Проверяем первое уравнение: $x+y = -3,2 + (-1,8) = -5$. Верно ($-5 = -5$).

Проверяем второе уравнение: $x^2 - y^2 = (-3,2)^2 - (-1,8)^2 = 10,24 - 3,24 = 7$. Неверно ($7 \neq 13$).

Пара не является решением.

Оба способа приводят к одному и тому же результату: решением системы является пара чисел из варианта 3.

Ответ: 3