Номер 8, страница 206 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Проверьте себя (тест). Глава 4. Системы уравнений - номер 8, страница 206.

Условие.

8 Какая прямая проходит через I, II и III координатные четверти?

1) $y=-3x+5$

2) $y=-3x-5$

3) $y=3x-5$

4) $y=3x+5$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения этой задачи необходимо проанализировать, как расположение графика линейной функции $y = kx + b$ в декартовой системе координат зависит от знаков углового коэффициента $k$ и свободного члена $b$ (точки пересечения с осью OY).

Координатные четверти определяются знаками координат $x$ и $y$:

• I четверть: $x > 0$, $y > 0$
• II четверть: $x < 0$, $y > 0$
• III четверть: $x < 0$, $y < 0$
• IV четверть: $x > 0$, $y < 0$

Прямая должна проходить через I, II и III четверти. Это означает, что она не заходит в IV четверть, где $x > 0$ и $y < 0$.

Определим, каким условиям должны удовлетворять коэффициенты $k$ и $b$:

1. Чтобы прямая проходила из III четверти ($x < 0, y < 0$) в I четверть ($x > 0, y > 0$), она должна быть возрастающей. Это означает, что ее угловой коэффициент $k$ должен быть положительным: $k > 0$.
2. Чтобы прямая проходила через II четверть ($x < 0, y > 0$), она должна пересекать ось OY в точке с положительной ординатой. Точка пересечения с осью OY имеет координаты $(0, b)$, следовательно, свободный член $b$ должен быть положительным: $b > 0$.

Таким образом, мы ищем уравнение прямой, для которого выполняются оба условия: $k > 0$ и $b > 0$. Теперь проанализируем каждый из предложенных вариантов.

1) $y = -3x + 5$

В этом уравнении $k = -3$ и $b = 5$. Так как $k < 0$ (условие не выполнено), функция является убывающей. График такой прямой проходит через I, II и IV четверти. Этот вариант не подходит.

2) $y = -3x - 5$

Здесь $k = -3$ и $b = -5$. Оба коэффициента отрицательны. Так как $k < 0$, прямая убывающая, а так как $b < 0$, она пересекает ось OY ниже начала координат. График проходит через II, III и IV четверти. Этот вариант не подходит.

3) $y = 3x - 5$

Здесь $k = 3$ и $b = -5$. Так как $k > 0$, прямая возрастающая, но $b < 0$ (условие не выполнено), поэтому она пересекает ось OY ниже начала координат. График проходит через I, III и IV четверти. Этот вариант не подходит.

4) $y = 3x + 5$

В этом уравнении $k = 3$ и $b = 5$. Оба условия ($k > 0$ и $b > 0$) выполняются. Прямая является возрастающей и пересекает ось OY в точке $(0, 5)$.
• При $x > 0$, $y = 3x+5 > 5$, что соответствует I четверти.
• При $x=0$, $y=5$. Найдем точку пересечения с осью OX: $0 = 3x+5 \implies x = -5/3$.
• При $x$ в интервале $(-5/3, 0)$, и $x$ и $y$ положительны, что соответствует II четверти.
• При $x < -5/3$, $y$ становится отрицательным (например, при $x=-2, y=-1$), что соответствует III четверти.
Следовательно, эта прямая проходит через I, II и III координатные четверти.

Ответ: 4