Номер 5, страница 205 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Проверьте себя (тест). Глава 4. Системы уравнений - номер 5, страница 205.

Условие.

5 Укажите уравнение прямой, проходящей через точки $A(1; 5)$ и $B(-1; 4).$

1) $2x - y = -3$

2) $x - 2y = -9$

3) $x + 2y = 7$

4) $2x + y = 7$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для того чтобы найти уравнение прямой, проходящей через точки $A(1; 5)$ и $B(-1; 4)$, необходимо проверить, какому из предложенных уравнений удовлетворяют координаты обеих точек. Если прямая проходит через точку, то её координаты должны обращать уравнение в верное равенство.

Проверим последовательно каждый из предложенных вариантов.

1) $2x - y = -3$

Подставляем координаты точки $A(1; 5)$: $2 \cdot 1 - 5 = 2 - 5 = -3$. Равенство верно.

Подставляем координаты точки $B(-1; 4)$: $2 \cdot (-1) - 4 = -2 - 4 = -6$. Равенство неверно, так как $-6 \neq -3$.

Следовательно, это уравнение не подходит.

2) $x - 2y = -9$

Подставляем координаты точки $A(1; 5)$: $1 - 2 \cdot 5 = 1 - 10 = -9$. Равенство верно.

Подставляем координаты точки $B(-1; 4)$: $-1 - 2 \cdot 4 = -1 - 8 = -9$. Равенство верно.

Так как координаты обеих точек удовлетворяют уравнению, это и есть искомое уравнение прямой.

3) $x + 2y = 7$

Подставляем координаты точки $A(1; 5)$: $1 + 2 \cdot 5 = 1 + 10 = 11$. Равенство неверно, так как $11 \neq 7$.

Следовательно, это уравнение не подходит.

4) $2x + y = 7$

Подставляем координаты точки $A(1; 5)$: $2 \cdot 1 + 5 = 2 + 5 = 7$. Равенство верно.

Подставляем координаты точки $B(-1; 4)$: $2 \cdot (-1) + 4 = -2 + 4 = 2$. Равенство неверно, так как $2 \neq 7$.

Следовательно, это уравнение не подходит.

Таким образом, единственное уравнение, которому удовлетворяют обе точки, — это уравнение под номером 2.

Альтернативный способ: составление уравнения прямой по двум точкам

Уравнение прямой, проходящей через две точки с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, можно найти по канонической формуле:

$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$

Подставим координаты наших точек $A(1; 5)$ и $B(-1; 4)$ в эту формулу:

$\frac{x - 1}{-1 - 1} = \frac{y - 5}{4 - 5}$

$\frac{x - 1}{-2} = \frac{y - 5}{-1}$

Используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получим:

$-1 \cdot (x - 1) = -2 \cdot (y - 5)$

$-x + 1 = -2y + 10$

Приведем уравнение к общему виду $Ax + By = C$:

$2y - x = 10 - 1$

$2y - x = 9$

Чтобы уравнение соответствовало одному из вариантов ответа, умножим обе части на $-1$:

$x - 2y = -9$

Этот способ подтверждает, что правильным является второй вариант.

Ответ: 2) $x - 2y = -9$