Номер 9, страница 205 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо уметь (обязательные результаты обучения). Глава 4. Системы уравнений - номер 9, страница 205.

Условие.

9 Вычислите координаты точки пересечения прямой $y = 2 + x$ и окружности $x^2 + y^2 = 10$.

Составьте систему уравнений и решите задачу (10–11).

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для того чтобы найти координаты точек пересечения прямой и окружности, необходимо решить систему уравнений, состоящую из уравнений этих двух фигур. Точки пересечения принадлежат одновременно и прямой, и окружности, поэтому их координаты должны удовлетворять обоим уравнениям.

Составим систему уравнений:

$ \begin{cases} y = 2 + x \\ x^2 + y^2 = 10 \end{cases} $

Решим эту систему методом подстановки. Подставим выражение для $y$ из первого уравнения (уравнения прямой) во второе уравнение (уравнение окружности):

$x^2 + (2 + x)^2 = 10$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$x^2 + (2^2 + 2 \cdot 2 \cdot x + x^2) = 10$

$x^2 + 4 + 4x + x^2 = 10$

Приведем подобные слагаемые и перенесем все члены в левую часть уравнения, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$2x^2 + 4x + 4 - 10 = 0$

$2x^2 + 4x - 6 = 0$

Для удобства решения разделим все члены уравнения на 2:

$x^2 + 2x - 3 = 0$

Теперь решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для нахождения корней через дискриминант.

По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = -2$, а произведение корней $x_1 \cdot x_2 = -3$. Легко подобрать корни:

$x_1 = 1$

$x_2 = -3$

Мы нашли абсциссы (координаты $x$) точек пересечения. Теперь найдем соответствующие ординаты (координаты $y$), подставив каждое значение $x$ в уравнение прямой $y = 2 + x$.

1. Для $x_1 = 1$:

$y_1 = 2 + 1 = 3$

Следовательно, первая точка пересечения имеет координаты $(1, 3)$.

2. Для $x_2 = -3$:

$y_2 = 2 + (-3) = -1$

Следовательно, вторая точка пересечения имеет координаты $(-3, -1)$.

Ответ: Координаты точек пересечения: $(1, 3)$ и $(-3, -1)$.