Номер 7, страница 204 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо уметь (обязательные результаты обучения). Глава 4. Системы уравнений - номер 7, страница 204.

Условие.

7 Пользуясь рисунком 4.45, решите систему уравнений $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 10 \\ x + y = 2 \end{cases} $.

y

$x^2 + y^2 = 10$

1

0

1

x

$x + y = 2$

Рис. 4.45

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения системы уравнений $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 10 \\ x + y = 2 \end{cases} $ графическим методом, необходимо найти точки пересечения графиков этих уравнений, которые изображены на рисунке 4.45.

График уравнения $x^2 + y^2 = 10$ — это окружность с центром в начале координат (0, 0) и радиусом $R = \sqrt{10}$. График уравнения $x + y = 2$ — это прямая линия. Решениями системы являются координаты точек пересечения окружности и прямой.

На рисунке видно две точки пересечения. Определим их координаты по сетке графика. Первая точка имеет координаты $(-1, 3)$. Вторая точка имеет координаты $(3, -1)$.

Чтобы убедиться в правильности найденных координат, выполним проверку, подставив их в оба уравнения системы.

Для точки $(-1, 3)$: подставляем в первое уравнение: $(-1)^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10$. Верно. Подставляем во второе уравнение: $(-1) + 3 = 2$. Верно. Следовательно, пара чисел $(-1, 3)$ является решением системы.

Для точки $(3, -1)$: подставляем в первое уравнение: $3^2 + (-1)^2 = 9 + 1 = 10$. Верно. Подставляем во второе уравнение: $3 + (-1) = 2$. Верно. Следовательно, пара чисел $(3, -1)$ также является решением системы.

Решение можно также проверить алгебраически. Из второго уравнения выразим $y = 2 - x$ и подставим в первое: $x^2 + (2-x)^2 = 10$. Раскрыв скобки и упростив, получим квадратное уравнение: $2x^2 - 4x - 6 = 0$, или $x^2 - 2x - 3 = 0$. Корнями этого уравнения являются $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$. Найдем соответствующие значения $y$: для $x_1 = 3$, $y_1 = 2 - 3 = -1$; для $x_2 = -1$, $y_2 = 2 - (-1) = 3$. Алгебраическое решение дает те же пары чисел: $(3, -1)$ и $(-1, 3)$, что подтверждает правильность графического решения.

Ответ: $(-1, 3), (3, -1)$.