Номер 11, страница 205 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо уметь (обязательные результаты обучения). Глава 4. Системы уравнений - номер 11, страница 205.

Условие.

11 Найдите стороны прямоугольника, площадь которого равна $24 \text{ см}^2$, а периметр равен $20 \text{ см}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения этой задачи обозначим длину и ширину прямоугольника как a и b.

Согласно условию, нам даны площадь (S) и периметр (P) прямоугольника:
$S = 24 \text{ см}^2$
$P = 20 \text{ см}$

Формулы для вычисления площади и периметра прямоугольника выглядят следующим образом:
Площадь: $S = a \cdot b$
Периметр: $P = 2(a + b)$

Используя данные из условия, мы можем составить систему из двух уравнений с двумя неизвестными:
$a \cdot b = 24$
$2(a + b) = 20$

Сначала упростим второе уравнение, которое описывает периметр. Для этого разделим обе части уравнения на 2:
$a + b = \frac{20}{2}$
$a + b = 10$

Теперь наша система уравнений имеет вид:
1) $a + b = 10$
2) $a \cdot b = 24$

Для решения системы выразим переменную a из первого уравнения:
$a = 10 - b$

Подставим полученное выражение для a во второе уравнение системы:
$(10 - b) \cdot b = 24$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:
$10b - b^2 = 24$
$b^2 - 10b + 24 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Это можно сделать, например, через дискриминант (D):
$D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 100 - 96 = 4$
Найдем корни уравнения:
$b_1 = \frac{-(-10) + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{10 + 2}{2} = \frac{12}{2} = 6$
$b_2 = \frac{-(-10) - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{10 - 2}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Мы получили два возможных значения для одной из сторон: 6 см и 4 см. Найдем вторую сторону a для каждого из этих случаев, используя выражение $a = 10 - b$:
- Если $b = 6$ см, то $a = 10 - 6 = 4$ см.
- Если $b = 4$ см, то $a = 10 - 4 = 6$ см.

В обоих случаях мы получаем один и тот же набор сторон: одна сторона равна 4 см, а другая — 6 см. Проверим, соответствуют ли эти значения исходным данным:
Площадь: $4 \cdot 6 = 24 \text{ см}^2$ (верно).
Периметр: $2 \cdot (4 + 6) = 2 \cdot 10 = 20 \text{ см}$ (верно).

Ответ: стороны прямоугольника равны 4 см и 6 см.