Номер 6, страница 204 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо уметь (обязательные результаты обучения). Глава 4. Системы уравнений - номер 6, страница 204.

Условие.

6 Решите систему уравнений:

a) $ \begin{cases} 5x + 2y = 8 \\ 3x - y = 7; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} 3x + 4y = 13 \\ 5x + 2y = 17; \end{cases} $

в) $ \begin{cases} x - y = 5 \\ xy = 14. \end{cases} $

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 5x + 2y = 8 \\ 3x - y = 7 \end{cases} $

Для решения используем метод подстановки. Из второго уравнения выразим $y$:
$3x - y = 7 \implies y = 3x - 7$

Подставим это выражение в первое уравнение:
$5x + 2(3x - 7) = 8$

Решим полученное уравнение относительно $x$:
$5x + 6x - 14 = 8$
$11x = 8 + 14$
$11x = 22$
$x = \frac{22}{11} = 2$

Теперь найдем $y$, подставив $x = 2$ в выражение $y = 3x - 7$:
$y = 3(2) - 7 = 6 - 7 = -1$

Ответ: $(2; -1)$

б) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 3x + 4y = 13 \\ 5x + 2y = 17 \end{cases} $

Используем метод алгебраического сложения. Умножим второе уравнение на $-2$, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными по знаку:
$ \begin{cases} 3x + 4y = 13 \\ -2(5x + 2y) = -2(17) \end{cases} $
$ \begin{cases} 3x + 4y = 13 \\ -10x - 4y = -34 \end{cases} $

Теперь сложим уравнения системы:
$(3x + 4y) + (-10x - 4y) = 13 + (-34)$
$3x - 10x = -21$
$-7x = -21$
$x = \frac{-21}{-7} = 3$

Подставим $x = 3$ во второе исходное уравнение, чтобы найти $y$:
$5(3) + 2y = 17$
$15 + 2y = 17$
$2y = 17 - 15$
$2y = 2$
$y = 1$

Ответ: $(3; 1)$

в) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x - y = 5 \\ xy = 14 \end{cases} $

Используем метод подстановки. Из первого уравнения выразим $x$ через $y$:
$x = 5 + y$

Подставим это выражение во второе уравнение:
$(5 + y)y = 14$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду:
$5y + y^2 = 14$
$y^2 + 5y - 14 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней $y_1 + y_2 = -5$, а их произведение $y_1 \cdot y_2 = -14$. Этим условиям удовлетворяют числа $2$ и $-7$.
Корни уравнения: $y_1 = 2$ и $y_2 = -7$.

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого найденного $y$:
1. Если $y_1 = 2$, то $x_1 = 5 + 2 = 7$. Получаем решение $(7; 2)$.
2. Если $y_2 = -7$, то $x_2 = 5 + (-7) = -2$. Получаем решение $(-2; -7)$.

Ответ: $(7; 2)$, $(-2; -7)$