Номер 10, страница 204 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо знать (основные теоретические сведения). Глава 4. Системы уравнений - номер 10, страница 204.

Условие.

10 Используя графические соображения, определите, какая система имеет единственное решение, какая система не имеет решений, какая система имеет бесконечное множество решений:

1) $\begin{cases} 3x - y = 5 \\ 6x - 2y = 10; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 4x - y = 8 \\ 8x - y = 8; \end{cases}$

3) $\begin{cases} y = 3x + 9 \\ 6x - 2y = -24. \end{cases}$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Чтобы определить количество решений системы линейных уравнений с помощью графических соображений, необходимо каждое уравнение привести к виду линейной функции $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент прямой, а $b$ — ордината точки пересечения прямой с осью OY.

• Если угловые коэффициенты прямых различны ($k_1 \neq k_2$), то прямые пересекаются в одной точке, и система имеет единственное решение.
• Если угловые коэффициенты одинаковы ($k_1 = k_2$), а точки пересечения с осью OY различны ($b_1 \neq b_2$), то прямые параллельны и не пересекаются, и система не имеет решений.
• Если и угловые коэффициенты, и точки пересечения с осью OY совпадают ($k_1 = k_2$ и $b_1 = b_2$), то прямые совпадают, и система имеет бесконечное множество решений.

1) Рассмотрим систему: $\begin{cases} 3x - y = 5 \\ 6x - 2y = 10 \end{cases}$

Приведем оба уравнения к виду $y = kx + b$.

Первое уравнение: $3x - y = 5 \implies y = 3x - 5$.
Здесь угловой коэффициент $k_1 = 3$ и $b_1 = -5$.

Второе уравнение: $6x - 2y = 10$. Разделим обе части уравнения на 2: $3x - y = 5 \implies y = 3x - 5$.
Здесь угловой коэффициент $k_2 = 3$ и $b_2 = -5$.

Поскольку $k_1 = k_2$ и $b_1 = b_2$, графики уравнений полностью совпадают. Это означает, что каждая точка одной прямой является и точкой другой прямой.

Ответ: система имеет бесконечное множество решений.

2) Рассмотрим систему: $\begin{cases} 4x - y = 8 \\ 8x - y = 8 \end{cases}$

Приведем оба уравнения к виду $y = kx + b$.

Первое уравнение: $4x - y = 8 \implies y = 4x - 8$.
Здесь угловой коэффициент $k_1 = 4$ и $b_1 = -8$.

Второе уравнение: $8x - y = 8 \implies y = 8x - 8$.
Здесь угловой коэффициент $k_2 = 8$ и $b_2 = -8$.

Поскольку угловые коэффициенты различны ($k_1 \neq k_2$), графики этих уравнений (прямые) пересекаются ровно в одной точке.

Ответ: система имеет единственное решение.

3) Рассмотрим систему: $\begin{cases} y = 3x + 9 \\ 6x - 2y = -24 \end{cases}$

Первое уравнение уже представлено в виде $y = kx + b$.

Первое уравнение: $y = 3x + 9$.
Здесь угловой коэффициент $k_1 = 3$ и $b_1 = 9$.

Второе уравнение: $6x - 2y = -24$. Выразим $y$:
$-2y = -6x - 24$
$y = \frac{-6x}{-2} - \frac{24}{-2}$
$y = 3x + 12$
Здесь угловой коэффициент $k_2 = 3$ и $b_2 = 12$.

Поскольку угловые коэффициенты одинаковы ($k_1 = k_2$), а ординаты точек пересечения с осью OY различны ($b_1 \neq b_2$), графики уравнений являются параллельными прямыми, которые никогда не пересекаются.

Ответ: система не имеет решений.