Номер 3, страница 203 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо знать (основные теоретические сведения). Глава 4. Системы уравнений - номер 3, страница 203.

Условие.

3 Что является графиком уравнения $ax + by = c$, где хотя бы один из коэффициентов $a$ и $b$ отличен от 0?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Уравнение вида $ax + by = c$ является общим уравнением прямой на плоскости. Чтобы доказать, что его графиком является прямая линия при условии, что хотя бы один из коэффициентов $a$ или $b$ не равен нулю, рассмотрим все возможные случаи.

Случай 1: $a \neq 0$ и $b \neq 0$
В этом, наиболее общем случае, мы можем выразить переменную $y$ через $x$, чтобы привести уравнение к стандартному виду функции $y(x)$:
$by = -ax + c$
Разделив обе части на $b$ (что возможно, так как $b \neq 0$), получим:
$y = -\frac{a}{b}x + \frac{c}{b}$
Это уравнение имеет вид $y = kx + m$, где $k = -\frac{a}{b}$ — угловой коэффициент, а $m = \frac{c}{b}$ — ордината точки пересечения с осью $y$. Графиком такой функции является наклонная прямая линия.

Случай 2: $a = 0$ и $b \neq 0$
При $a = 0$ исходное уравнение принимает вид:
$0 \cdot x + by = c$
$by = c$
Так как $b \neq 0$, мы можем разделить на $b$:
$y = \frac{c}{b}$
Это уравнение задает множество всех точек на координатной плоскости, у которых координата $y$ постоянна и равна $\frac{c}{b}$, независимо от значения координаты $x$. Графиком такого уравнения является горизонтальная прямая, параллельная оси абсцисс ($Ox$).

Случай 3: $a \neq 0$ и $b = 0$
При $b = 0$ исходное уравнение принимает вид:
$ax + 0 \cdot y = c$
$ax = c$
Так как $a \neq 0$, мы можем разделить на $a$:
$x = \frac{c}{a}$
Это уравнение задает множество всех точек, у которых координата $x$ постоянна и равна $\frac{c}{a}$, независимо от значения координаты $y$. Графиком такого уравнения является вертикальная прямая, параллельная оси ординат ($Oy$).

Во всех рассмотренных случаях, которые охватывают все возможности при заданном условии, графиком уравнения является прямая линия.

Ответ: Прямая линия.