Номер 4.108, страница 202 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.8. Геометрическая интерпретация неравенств с двумя переменными (Узнайте больше). Глава 4. Системы уравнений - номер 4.108, страница 202.

Условие.

4.108 Какое множество точек координатной плоскости задаётся неравенством:

а) $y \geqslant x^2$;

б) $y \leqslant x^3$?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $y \ge x^2$

Чтобы найти множество точек на координатной плоскости, удовлетворяющих неравенству $y \ge x^2$, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Построить граничную кривую. Границей области является график функции, получаемой при замене знака неравенства на знак равенства: $y = x^2$. Это уравнение задает параболу, вершина которой находится в начале координат $(0, 0)$, а ветви направлены вверх.

2. Определить область. Парабола $y = x^2$ делит всю координатную плоскость на две части: точки, лежащие "внутри" (или "выше") параболы, и точки, лежащие "снаружи" (или "ниже") параболы.

Неравенство $y \ge x^2$ означает, что нас интересуют все точки $(x, y)$, для которых ордината $y$ больше или равна квадрату абсциссы $x$.

• Условие $y = x^2$ выполняется для всех точек, лежащих непосредственно на параболе. Поскольку неравенство нестрогое ($\ge$), эти точки входят в искомое множество. Граничная кривая изображается сплошной линией.
• Условие $y > x^2$ выполняется для точек, лежащих над параболой.

Для проверки можно выбрать контрольную точку, не лежащую на параболе. Например, возьмем точку $(0, 2)$, которая очевидно находится над параболой. Подставим ее координаты в исходное неравенство:

$2 \ge 0^2$

$2 \ge 0$

Неравенство верное, следовательно, область над параболой является частью решения.

Ответ: Множество точек, расположенных на параболе $y=x^2$ и в области, лежащей над этой параболой.

б) $y \le x^3$

Аналогично, для неравенства $y \le x^3$ выполним те же шаги.

1. Построить граничную кривую. Границей является график функции $y = x^3$. Это кубическая парабола, которая проходит через начало координат и является симметричной относительно него.

2. Определить область. Кривая $y = x^3$ делит координатную плоскость на две области: область над кривой и область под кривой.

Неравенство $y \le x^3$ означает, что мы ищем все точки $(x, y)$, у которых ордината $y$ меньше или равна кубу абсциссы $x$.

• Условие $y = x^3$ выполняется для точек, лежащих на самой кривой. Так как неравенство нестрогое ($\le$), эти точки принадлежат искомому множеству, и кривая рисуется сплошной линией.
• Условие $y < x^3$ выполняется для точек, лежащих под кривой.

Выберем контрольную точку для проверки. Возьмем точку $(1, 0)$. На кривой при $x=1$ лежит точка $(1, 1)$, поэтому точка $(1, 0)$ находится под кривой. Подставим ее координаты в неравенство:

$0 \le 1^3$

$0 \le 1$

Неравенство верное. Это подтверждает, что область под кривой $y=x^3$ является решением.

Ответ: Множество точек, расположенных на кривой $y=x^3$ и в области, лежащей под этой кривой.