Номер 4.107, страница 201 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.8. Геометрическая интерпретация неравенств с двумя переменными (Узнайте больше). Глава 4. Системы уравнений - номер 4.107, страница 201.

Условие.

4.107 Постройте множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенству:

а) $y \ge -x$;

б) $y < -x$;

в) $y \ge 2x$;

г) $y \le -2x + 4$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для построения множества точек, удовлетворяющих линейному неравенству с двумя переменными, используется следующий алгоритм:

1. Заменить знак неравенства на знак равенства и построить график получившегося линейного уравнения. Эта прямая называется граничной.
2. Если неравенство строгое (< или >), граничная прямая изображается пунктирной линией. Если нестрогое (≤ или ≥), — сплошной.
3. Выбрать любую пробную точку, не лежащую на граничной прямой (часто удобно использовать начало координат (0, 0), если прямая через него не проходит).
4. Подставить координаты пробной точки в исходное неравенство.
5. Если получилось верное числовое неравенство, то искомое множество точек — это та полуплоскость, в которой лежит пробная точка. Если неверное — то другая полуплоскость.

а)

Рассмотрим неравенство $y \ge -x$.

1. Построим граничную прямую, заданную уравнением $y = -x$. Это прямая, которая является биссектрисой II и IV координатных четвертей. Она проходит через начало координат $(0, 0)$ и, например, точку $(2, -2)$.

2. Так как знак неравенства $\ge$ (нестрогий), граничная прямая принадлежит множеству решений, и мы чертим ее сплошной линией.

3. Выберем пробную точку, не лежащую на прямой $y = -x$. Например, точку $(1, 1)$.

4. Подставим ее координаты в исходное неравенство: $1 \ge -1$. Это верное утверждение.

5. Следовательно, решением неравенства является та полуплоскость, в которой лежит точка $(1, 1)$, то есть полуплоскость, расположенная выше прямой $y = -x$.

Ответ: Искомое множество точек – это полуплоскость, лежащая на прямой $y = -x$ и выше неё.

б)

Рассмотрим неравенство $y < -x$.

1. Граничная прямая та же, что и в предыдущем пункте: $y = -x$.

2. Так как знак неравенства < (строгий), точки на самой прямой не являются решениями. Поэтому прямую $y = -x$ следует изображать пунктирной линией.

3. Возьмем ту же пробную точку $(1, 1)$.

4. Подставим ее координаты в неравенство $y < -x$: $1 < -1$. Это неверное утверждение.

5. Следовательно, решением является полуплоскость, не содержащая точку $(1, 1)$, то есть полуплоскость, расположенная ниже прямой $y = -x$.

Ответ: Искомое множество точек – это полуплоскость, лежащая ниже прямой $y = -x$. Сама прямая в множество не входит.

в)

Рассмотрим неравенство $y \ge 2x$.

1. Построим граничную прямую $y = 2x$. Это прямая, проходящая через начало координат $(0, 0)$ и, например, точку $(1, 2)$.

2. Знак неравенства $\ge$ (нестрогий), поэтому прямую изображаем сплошной линией.

3. Прямая проходит через начало координат, поэтому в качестве пробной точки выберем другую, например, $(0, 3)$.

4. Подставим координаты точки $(0, 3)$ в неравенство: $3 \ge 2 \cdot 0$, что равносильно $3 \ge 0$. Это верное утверждение.

5. Значит, решением является полуплоскость, содержащая точку $(0, 3)$, то есть полуплоскость, расположенная выше прямой $y = 2x$.

Ответ: Искомое множество точек – это полуплоскость, лежащая на прямой $y = 2x$ и выше неё.

г)

Рассмотрим неравенство $y \le -2x + 4$.

1. Построим граничную прямую $y = -2x + 4$. Для построения найдем две точки. Если $x=0$, то $y=4$. Если $y=0$, то $0 = -2x + 4$, откуда $2x=4$, $x=2$. Прямая проходит через точки $(0, 4)$ и $(2, 0)$.

2. Знак неравенства $\le$ (нестрогий), поэтому прямую изображаем сплошной линией.

3. Прямая не проходит через начало координат, поэтому можно выбрать в качестве пробной точки $(0, 0)$.

4. Подставим координаты точки $(0, 0)$ в неравенство: $0 \le -2 \cdot 0 + 4$, что равносильно $0 \le 4$. Это верное утверждение.

5. Следовательно, решением является полуплоскость, содержащая начало координат, то есть полуплоскость, расположенная ниже прямой $y = -2x + 4$.

Ответ: Искомое множество точек – это полуплоскость, лежащая на прямой $y = -2x + 4$ и ниже неё.