Номер 4.100, страница 199 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.7. Задачи на координатной плоскости. Глава 4. Системы уравнений - номер 4.100, страница 199.

Условие.

4.100 ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ

а) Найдите координаты точки пересечения прямых $2x+y=2$ и $x-y=4$ и определите, проходит ли через эту точку прямая $x+2y=6$.

б) Определите, проходят ли прямые $2x-3y=1$, $x+y=3$ и $3x-y=5$ через одну точку.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы найти координаты точки пересечения прямых, необходимо решить систему уравнений, задающих эти прямые:

$$ \begin{cases} 2x + y = 2 \\ x - y = 4 \end{cases} $$

Сложим два уравнения системы, чтобы исключить переменную $y$:

$(2x + y) + (x - y) = 2 + 4$

$3x = 6$

$x = 2$

Теперь подставим найденное значение $x$ в любое из исходных уравнений, например, во второе:

$2 - y = 4$

$-y = 4 - 2$

$-y = 2$

$y = -2$

Таким образом, координаты точки пересечения прямых $2x + y = 2$ и $x - y = 4$ равны $(2; -2)$.

Далее определим, проходит ли через эту точку прямая $x + 2y = 6$. Для этого подставим координаты точки $(2; -2)$ в уравнение этой прямой:

$2 + 2(-2) = 6$

$2 - 4 = 6$

$-2 = 6$

Полученное равенство неверно. Следовательно, прямая $x + 2y = 6$ не проходит через точку пересечения первых двух прямых.

Ответ: Координаты точки пересечения $(2; -2)$. Прямая $x + 2y = 6$ не проходит через эту точку.

б) Чтобы определить, проходят ли три прямые через одну точку, найдем точку пересечения любых двух из них и проверим, принадлежит ли эта точка третьей прямой.

Возьмем первые две прямые и решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} 2x - 3y = 1 \\ x + y = 3 \end{cases} $$

Из второго уравнения выразим $x$: $x = 3 - y$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$2(3 - y) - 3y = 1$

$6 - 2y - 3y = 1$

$6 - 5y = 1$

$-5y = -5$

$y = 1$

Теперь найдем $x$:

$x = 3 - 1 = 2$

Точка пересечения первых двух прямых имеет координаты $(2; 1)$.

Проверим, принадлежит ли эта точка третьей прямой $3x - y = 5$. Подставим координаты точки $(2; 1)$ в ее уравнение:

$3(2) - 1 = 5$

$6 - 1 = 5$

$5 = 5$

Равенство верное. Следовательно, все три прямые проходят через одну точку $(2; 1)$.

Ответ: Да, прямые проходят через одну точку.