Номер 4.98, страница 198 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.7. Задачи на координатной плоскости. Глава 4. Системы уравнений - номер 4.98, страница 198.

Условие.

4.98 Запишите уравнение прямой, которая проходит через две данные точки:

a) $A(1; 3)$, $B(5; -4)$;

б) $A(-1; -1)$, $B(4; 3)$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для нахождения уравнения прямой, проходящей через две заданные точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, используется каноническое уравнение прямой:

$$ \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} $$

Это уравнение затем можно преобразовать к общему виду $Ax + By + C = 0$ или к виду уравнения с угловым коэффициентом $y = kx + b$.

а) A(1; 3), B(5; -4)

Подставим координаты точек A и B в каноническое уравнение прямой. В данном случае $x_1 = 1, y_1 = 3$ и $x_2 = 5, y_2 = -4$.

$$ \frac{x - 1}{5 - 1} = \frac{y - 3}{-4 - 3} $$

Упростим знаменатели:

$$ \frac{x - 1}{4} = \frac{y - 3}{-7} $$

Теперь преобразуем это уравнение к общему виду, используя свойство пропорции (перекрестное умножение):

$$ -7(x - 1) = 4(y - 3) $$

Раскроем скобки:

$$ -7x + 7 = 4y - 12 $$

Перенесем все слагаемые в одну часть уравнения, чтобы получить общий вид:

$$ -7x - 4y + 7 + 12 = 0 $$

$$ -7x - 4y + 19 = 0 $$

Для удобства можно умножить все уравнение на -1, чтобы коэффициент при $x$ был положительным:

$$ 7x + 4y - 19 = 0 $$

Ответ: $7x + 4y - 19 = 0$

б) A(-1; -1), B(4; 3)

Подставим координаты точек A и B в каноническое уравнение прямой. Здесь $x_1 = -1, y_1 = -1$ и $x_2 = 4, y_2 = 3$.

$$ \frac{x - (-1)}{4 - (-1)} = \frac{y - (-1)}{3 - (-1)} $$

Упростим выражение в числителях и знаменателях:

$$ \frac{x + 1}{5} = \frac{y + 1}{4} $$

Преобразуем уравнение к общему виду с помощью перекрестного умножения:

$$ 4(x + 1) = 5(y + 1) $$

Раскроем скобки:

$$ 4x + 4 = 5y + 5 $$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$$ 4x - 5y + 4 - 5 = 0 $$

$$ 4x - 5y - 1 = 0 $$

Ответ: $4x - 5y - 1 = 0$