Номер 4.102, страница 199 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.7. Задачи на координатной плоскости. Глава 4. Системы уравнений - номер 4.102, страница 199.

Условие.

ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ (4.102–4.104)

4.102 Докажите, что точки $(−2; −14)$, $(2; 6)$, $(3; 11)$ лежат на одной прямой.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Чтобы доказать, что три точки лежат на одной прямой, можно составить уравнение прямой, проходящей через две из этих точек, а затем проверить, удовлетворяют ли координаты третьей точки этому уравнению.

Обозначим данные точки: A(-2; -14), B(2; 6) и C(3; 11).

Уравнение прямой в общем виде записывается как $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, а $b$ — свободный член.

1. Составим уравнение прямой, проходящей через точки A(-2; -14) и B(2; 6). Для этого подставим их координаты в уравнение прямой и решим полученную систему уравнений:

$\begin{cases} -14 = k \cdot (-2) + b \\ 6 = k \cdot 2 + b \end{cases} $

$\begin{cases} -14 = -2k + b \\ 6 = 2k + b \end{cases} $

Вычтем первое уравнение из второго:

$6 - (-14) = (2k + b) - (-2k + b)$

$20 = 4k$

$k = \frac{20}{4} = 5$

Теперь найдем $b$, подставив значение $k=5$ во второе уравнение:

$6 = 2 \cdot 5 + b$

$6 = 10 + b$

$b = 6 - 10 = -4$

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точки A и B, имеет вид: $y = 5x - 4$.

2. Проверим, принадлежит ли точка C(3; 11) этой прямой. Для этого подставим ее координаты $x=3$ и $y=11$ в полученное уравнение:

$11 = 5 \cdot 3 - 4$

$11 = 15 - 4$

$11 = 11$

Равенство верное, следовательно, точка C(3; 11) также лежит на этой прямой.

Поскольку все три точки удовлетворяют уравнению $y = 5x - 4$, они лежат на одной прямой, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано, так как все три точки принадлежат прямой, заданной уравнением $y = 5x - 4$.