Номер 4.104, страница 199 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.7. Задачи на координатной плоскости. Глава 4. Системы уравнений - номер 4.104, страница 199.

Условие.

4.104 Три прямые $y = -\frac{2}{3}x + 2$, $y = 4x + 16$, $y = \frac{6}{5}x + 2$, попарно пересекаясь, образуют треугольник. Найдите координаты его вершин.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Вершины треугольника — это точки пересечения прямых, которые его образуют. Чтобы найти координаты вершин, нужно попарно решить системы уравнений, задающих эти прямые.

Даны уравнения трех прямых:
1) $y = -\frac{2}{3}x + 2$
2) $y = 4x + 16$
3) $y = \frac{6}{5}x + 2$

Найдем координаты первой вершины, решая систему из уравнений (1) и (2)

Приравниваем правые части уравнений $y = -\frac{2}{3}x + 2$ и $y = 4x + 16$:
$-\frac{2}{3}x + 2 = 4x + 16$
Переносим члены с $x$ в правую часть, а свободные члены — в левую:
$2 - 16 = 4x + \frac{2}{3}x$
$-14 = \frac{12}{3}x + \frac{2}{3}x$
$-14 = \frac{14}{3}x$
Для нахождения $x$ умножим обе части уравнения на $\frac{3}{14}$:
$x = -14 \cdot \frac{3}{14}$
$x = -3$
Теперь подставим найденное значение $x$ в уравнение второй прямой, чтобы найти $y$:
$y = 4(-3) + 16 = -12 + 16 = 4$
Координаты первой вершины: $(-3, 4)$.
Ответ: $(-3, 4)$.

Найдем координаты второй вершины, решая систему из уравнений (1) и (3)

Приравниваем правые части уравнений $y = -\frac{2}{3}x + 2$ и $y = \frac{6}{5}x + 2$:
$-\frac{2}{3}x + 2 = \frac{6}{5}x + 2$
Вычтем 2 из обеих частей уравнения:
$-\frac{2}{3}x = \frac{6}{5}x$
Перенесем все в одну сторону:
$\frac{6}{5}x + \frac{2}{3}x = 0$
Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{18}{15}x + \frac{10}{15}x = 0$
$\frac{28}{15}x = 0$
Отсюда следует, что $x=0$.
Подставим $x=0$ в уравнение первой прямой, чтобы найти $y$:
$y = -\frac{2}{3}(0) + 2 = 2$
Координаты второй вершины: $(0, 2)$.
Ответ: $(0, 2)$.

Найдем координаты третьей вершины, решая систему из уравнений (2) и (3)

Приравниваем правые части уравнений $y = 4x + 16$ и $y = \frac{6}{5}x + 2$:
$4x + 16 = \frac{6}{5}x + 2$
Переносим члены с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:
$4x - \frac{6}{5}x = 2 - 16$
Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{20}{5}x - \frac{6}{5}x = -14$
$\frac{14}{5}x = -14$
Для нахождения $x$ умножим обе части уравнения на $\frac{5}{14}$:
$x = -14 \cdot \frac{5}{14}$
$x = -5$
Теперь подставим найденное значение $x$ в уравнение второй прямой, чтобы найти $y$:
$y = 4(-5) + 16 = -20 + 16 = -4$
Координаты третьей вершины: $(-5, -4)$.
Ответ: $(-5, -4)$.

Итоговый ответ

Координаты вершин треугольника: $(-3, 4)$, $(0, 2)$ и $(-5, -4)$.