Номер 4.110, страница 202 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.8. Геометрическая интерпретация неравенств с двумя переменными (Узнайте больше). Глава 4. Системы уравнений - номер 4.110, страница 202.

Условие.

4.110 Закрасьте часть координатной плоскости, которая расположена ниже каждой из прямых $x+3y=16$ и $2x+y=12$, ограничена горизонталями $y=0$ и $y=5$, а также вертикалями $x=0$ и $x=5$. Задайте это множество точек плоскости системой неравенств.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Закраска части координатной плоскости

Для того чтобы закрасить указанную часть координатной плоскости, необходимо сначала определить ее границы. Эти границы заданы несколькими условиями.

1. Область расположена ниже каждой из прямых $x + 3y = 16$ и $2x + y = 12$. Условие "ниже" для прямой, заданной в виде $Ax+By=C$, означает, что для точек $(x, y)$ области должно выполняться неравенство, которое получается, если выразить $y$.
- Для прямой $x + 3y = 16$ имеем $3y = 16 - x$, или $y = \frac{16-x}{3}$. Область ниже этой прямой задается неравенством $y \le \frac{16-x}{3}$, что равносильно $x + 3y \le 16$.
- Для прямой $2x + y = 12$ имеем $y = 12 - 2x$. Область ниже этой прямой задается неравенством $y \le 12 - 2x$, что равносильно $2x + y \le 12$.

2. Область ограничена горизонталями $y = 0$ и $y = 5$. Это задает диапазон для координаты $y$: $0 \le y \le 5$.

3. Область ограничена вертикалями $x = 0$ и $x = 5$. Это задает диапазон для координаты $x$: $0 \le x \le 5$.

Совокупность этих условий определяет на плоскости многоугольник. Чтобы его построить, найдем его вершины как точки пересечения граничных линий.

- Начало координат $(0,0)$ удовлетворяет всем условиям.
- Движемся по оси $Ox$ ($y=0$) до пересечения с $x=5$. Получаем вершину $(5,0)$.
- Движемся от $(5,0)$ вверх по прямой $x=5$. Здесь область ограничена прямой $2x+y=12$. Подставляя $x=5$, получаем $2(5)+y=12 \Rightarrow 10+y=12 \Rightarrow y=2$. Следующая вершина — $(5,2)$.
- В точке $(5,2)$ границей становится прямая $2x+y=12$. Найдем ее пересечение с прямой $x+3y=16$. Решаем систему:
$y = 12-2x \Rightarrow x+3(12-2x)=16 \Rightarrow x+36-6x=16 \Rightarrow -5x=-20 \Rightarrow x=4$.
Тогда $y = 12-2(4) = 4$. Вершина — $(4,4)$.
- В точке $(4,4)$ границей становится прямая $x+3y=16$. Найдем ее пересечение с прямой $y=5$.
$x+3(5)=16 \Rightarrow x=1$. Вершина — $(1,5)$.
- От точки $(1,5)$ движемся по прямой $y=5$ до пересечения с осью $Oy$ ($x=0$). Вершина — $(0,5)$.
- От точки $(0,5)$ движемся вниз по оси $Oy$ до начала координат $(0,0)$.

Таким образом, искомая область — это шестиугольник, который и следует закрасить.

Ответ: Закрашенная область представляет собой замкнутый шестиугольник с вершинами в точках $(0,0)$, $(5,0)$, $(5,2)$, $(4,4)$, $(1,5)$ и $(0,5)$.

Задание множества точек системой неравенств

На основе анализа, проведенного выше, мы можем записать все условия, определяющие искомое множество точек, в виде системы неравенств.

- Условие расположения ниже прямой $x+3y=16$ дает неравенство $x+3y \le 16$.
- Условие расположения ниже прямой $2x+y=12$ дает неравенство $2x+y \le 12$.
- Ограничения по горизонтали и вертикали дают неравенства $0 \le x \le 5$ и $0 \le y \le 5$.

Объединив эти неравенства, получаем искомую систему.

Ответ: $$ \begin{cases} x + 3y \le 16 \\ 2x + y \le 12 \\ 0 \le x \le 5 \\ 0 \le y \le 5 \end{cases} $$