Номер 4.112, страница 203 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.8. Геометрическая интерпретация неравенств с двумя переменными (Узнайте больше). Глава 4. Системы уравнений - номер 4.112, страница 203.

Условие.

4.112 Какое множество точек координатной плоскости задаётся условием:

a) $x^2 + y^2 \le 1;$

б) $x^2 + y^2 \ge 9;$

в) $\begin{cases} x^2 + y^2 \ge 1 \\ x^2 + y^2 \le 9? \end{cases}$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Рассмотрим условие $x^2 + y^2 \le 1$.

Уравнение вида $x^2 + y^2 = R^2$ задает на координатной плоскости окружность с центром в начале координат, точке $(0, 0)$, и радиусом $R$. В данном случае уравнение $x^2 + y^2 = 1$ — это окружность с центром в $(0, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{1} = 1$.

Неравенство $x^2 + y^2 \le 1$ описывает все точки $(x, y)$, квадрат расстояния которых от начала координат $(\sqrt{x^2+y^2})^2$ не превышает 1. Это означает, что в искомое множество входят все точки, находящиеся внутри окружности $x^2 + y^2 = 1$, а также все точки на самой окружности.

Такое множество точек называется замкнутым кругом.

Ответ: множество точек, задаваемое условием $x^2 + y^2 \le 1$, представляет собой замкнутый круг с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом 1.

б) Рассмотрим условие $x^2 + y^2 \ge 9$.

Уравнение $x^2 + y^2 = 9$ задает окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{9} = 3$.

Неравенство $x^2 + y^2 \ge 9$ описывает все точки $(x, y)$, квадрат расстояния которых от начала координат не меньше 9. Это означает, что в искомое множество входят все точки, находящиеся на самой окружности $x^2 + y^2 = 9$, а также все точки, лежащие вне этой окружности.

Ответ: множество точек, задаваемое условием $x^2 + y^2 \ge 9$, представляет собой все точки координатной плоскости, лежащие на окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом 3, а также все точки вне этой окружности.

в) Рассмотрим систему условий $\begin{cases} x^2 + y^2 \ge 1 \\ x^2 + y^2 \le 9 \end{cases}$.

Эту систему можно записать в виде двойного неравенства: $1 \le x^2 + y^2 \le 9$.

Первое неравенство, $x^2 + y^2 \ge 1$, задает множество точек, лежащих на окружности с центром в начале координат и радиусом $R_1 = \sqrt{1} = 1$ и вне ее.

Второе неравенство, $x^2 + y^2 \le 9$, задает замкнутый круг с центром в начале координат и радиусом $R_2 = \sqrt{9} = 3$.

Для выполнения системы необходимо, чтобы точка принадлежала обоим множествам одновременно, то есть находилась в их пересечении. Это точки, которые удалены от начала координат на расстояние не менее 1 и не более 3. Геометрически это множество представляет собой кольцо, заключенное между двумя концентрическими окружностями.

Поскольку оба неравенства в системе нестрогие, граничные окружности с радиусами 1 и 3 также включаются в искомое множество. Такое множество называется замкнутым кольцом.

Ответ: множество точек, задаваемое данной системой условий, представляет собой замкнутое кольцо с центром в начале координат $(0, 0)$, ограниченное окружностями с радиусами $R_1=1$ и $R_2=3$.