Номер 4.106, страница 199 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.7. Задачи на координатной плоскости. Глава 4. Системы уравнений - номер 4.106, страница 199.

Условие.

4.106 ИССЛЕДУЕМ

1) В одной системе координат постройте прямые:

a) $y=3x+1$ и $y=-\frac{1}{3}x+1$;

б) $y=-2x+2$ и $y=\frac{1}{2}x-3$.

2) Убедитесь, что прямые на каждом из рисунков перпендикулярны. Как связаны между собой угловые коэффициенты каждой пары прямых?

3) Запишите в буквенном виде соотношение, связывающее угловые коэффициенты перпендикулярных прямых $y=k_1x+l_1$ и $y=k_2x+l_2$.

4) Запишите уравнение какой-нибудь прямой, перпендикулярной прямой:

a) $y=-\frac{1}{4}x-1$;

б) $y=x+5$.

В каждом случае выполните чертёж.

5) Дана прямая $y=-\frac{3}{2}x+3$. Запишите уравнение прямой:

a) перпендикулярной данной прямой и проходящей через начало координат;

б) перпендикулярной данной прямой и проходящей через точку A(9; 2);

в) пересекающей данную прямую под прямым углом в точке M(0; 3).

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1)

а) Для построения прямой $y = 3x + 1$ найдем две точки: если $x=0$, то $y=1$ (точка (0; 1)); если $x=1$, то $y=4$ (точка (1; 4)). Для построения прямой $y = -\frac{1}{3}x + 1$ найдем две точки: если $x=0$, то $y=1$ (точка (0; 1)); если $x=3$, то $y=0$ (точка (3; 0)). После нанесения точек на координатную плоскость и их соединения, мы получаем графики двух прямых, пересекающихся в точке (0; 1).

б) Для построения прямой $y = -2x + 2$ найдем две точки: если $x=0$, то $y=2$ (точка (0; 2)); если $x=1$, то $y=0$ (точка (1; 0)). Для построения прямой $y = \frac{1}{2}x - 3$ найдем две точки: если $x=0$, то $y=-3$ (точка (0; -3)); если $x=2$, то $y=-2$ (точка (2; -2)). После нанесения точек на координатную плоскость и их соединения, мы получаем графики двух прямых.

2)

Условие перпендикулярности двух прямых $y = k_1x + l_1$ и $y = k_2x + l_2$ — равенство произведения их угловых коэффициентов -1, то есть $k_1 \cdot k_2 = -1$. В случае а) имеем $k_1=3$ и $k_2=-\frac{1}{3}$. Их произведение $3 \cdot (-\frac{1}{3}) = -1$, значит, прямые перпендикулярны. В случае б) имеем $k_1=-2$ и $k_2=\frac{1}{2}$. Их произведение $-2 \cdot \frac{1}{2} = -1$, значит, прямые также перпендикулярны. Таким образом, угловые коэффициенты каждой пары перпендикулярных прямых связаны соотношением: их произведение равно -1.

Ответ: Прямые на каждом из рисунков перпендикулярны. Угловые коэффициенты каждой пары связаны соотношением $k_1 \cdot k_2 = -1$.

3)

Соотношение, связывающее угловые коэффициенты $k_1$ и $k_2$ перпендикулярных прямых $y=k_1x+l_1$ и $y=k_2x+l_2$, записывается в виде формулы: $k_1 \cdot k_2 = -1$.

Ответ: $k_1 \cdot k_2 = -1$.

4)

а) Дана прямая $y = -\frac{1}{4}x - 1$ с угловым коэффициентом $k_1 = -\frac{1}{4}$. Для перпендикулярной прямой угловой коэффициент $k_2$ должен удовлетворять условию $k_1 \cdot k_2 = -1$, следовательно $k_2 = \frac{-1}{-1/4} = 4$. Уравнение перпендикулярной прямой будет иметь вид $y = 4x + l$. Мы можем выбрать любое значение для $l$, например, $l=0$. В этом случае уравнение перпендикулярной прямой будет $y=4x$. Для выполнения чертежа строим прямую $y = -\frac{1}{4}x - 1$ по точкам (0; -1) и (4; -2) и прямую $y=4x$ по точкам (0; 0) и (1; 4).

Ответ: $y = 4x$.

б) Дана прямая $y = x + 5$ с угловым коэффициентом $k_1 = 1$. Для перпендикулярной прямой угловой коэффициент $k_2$ равен $k_2 = \frac{-1}{1} = -1$. Уравнение перпендикулярной прямой будет иметь вид $y = -x + l$. Мы можем выбрать любое значение для $l$, например, $l=1$. В этом случае уравнение перпендикулярной прямой будет $y=-x+1$. Для выполнения чертежа строим прямую $y = x + 5$ по точкам (0; 5) и (-5; 0) и прямую $y=-x+1$ по точкам (0; 1) и (1; 0).

Ответ: $y = -x + 1$.

5)

Для всех подпунктов дана прямая $y = -\frac{3}{2}x + 3$. Ее угловой коэффициент $k_1 = -\frac{3}{2}$. Угловой коэффициент $k_2$ перпендикулярной прямой равен $k_2 = \frac{-1}{-3/2} = \frac{2}{3}$. Значит, уравнение искомой прямой имеет вид $y = \frac{2}{3}x + l$.

а) Прямая, перпендикулярная данной, проходит через начало координат (0; 0). Подставим эти координаты в уравнение $y = \frac{2}{3}x + l$: $0 = \frac{2}{3} \cdot 0 + l$, откуда $l=0$. Уравнение искомой прямой: $y = \frac{2}{3}x$.

Ответ: $y = \frac{2}{3}x$.

б) Прямая, перпендикулярная данной, проходит через точку A(9; 2). Подставим эти координаты в уравнение $y = \frac{2}{3}x + l$: $2 = \frac{2}{3} \cdot 9 + l$, откуда $2 = 6 + l$ и $l = -4$. Уравнение искомой прямой: $y = \frac{2}{3}x - 4$.

Ответ: $y = \frac{2}{3}x - 4$.

в) Прямая пересекает данную под прямым углом в точке M(0; 3). Это означает, что искомая перпендикулярная прямая проходит через точку M(0; 3). Подставим координаты этой точки в уравнение $y = \frac{2}{3}x + l$: $3 = \frac{2}{3} \cdot 0 + l$, откуда $l = 3$. Уравнение искомой прямой: $y = \frac{2}{3}x + 3$.

Ответ: $y = \frac{2}{3}x + 3$.