Номер 4.101, страница 199 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.7. Задачи на координатной плоскости. Глава 4. Системы уравнений - номер 4.101, страница 199.

Условие.

4.101 При каком значении $k$ прямые $y = \frac{1}{2}x - 2$, $y = -2x - 12$, $y = kx$ проходят через одну точку?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для того чтобы три прямые проходили через одну точку, необходимо сначала найти точку пересечения двух прямых, уравнения которых полностью известны, а затем подставить координаты этой точки в уравнение третьей прямой, чтобы найти неизвестный коэффициент $k$.

Даны две прямые: $y = \frac{1}{2}x - 2$ и $y = -2x - 12$.

Найдем их точку пересечения, приравняв правые части уравнений:

$\frac{1}{2}x - 2 = -2x - 12$

Теперь решим это уравнение относительно $x$. Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$\frac{1}{2}x + 2x = -12 + 2$

Приведем подобные слагаемые:

$\frac{1}{2}x + \frac{4}{2}x = -10$

$\frac{5}{2}x = -10$

Выразим $x$:

$x = -10 \cdot \frac{2}{5} = -\frac{20}{5} = -4$

Теперь найдем координату $y$, подставив найденное значение $x = -4$ в уравнение любой из двух первых прямых. Используем второе уравнение $y = -2x - 12$:

$y = -2(-4) - 12 = 8 - 12 = -4$

Таким образом, точка пересечения первых двух прямых имеет координаты $(-4, -4)$.

Чтобы все три прямые проходили через эту точку, ее координаты должны удовлетворять и уравнению третьей прямой $y = kx$. Подставим $x = -4$ и $y = -4$ в это уравнение:

$-4 = k \cdot (-4)$

Отсюда находим $k$:

$k = \frac{-4}{-4} = 1$

Ответ: $k=1$.