Номер 4.103, страница 199 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.7. Задачи на координатной плоскости. Глава 4. Системы уравнений - номер 4.103, страница 199.

Условие.

4.103 Четыре точки заданы своими координатами: A$(-5; 6)$, B$(7; 2)$, C$(5; 1)$, D$(-4; 4)$. Определите, параллельны ли прямые:

а) AB и CD;

б) BC и AD.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для определения параллельности двух прямых можно использовать их направляющие векторы. Две прямые параллельны в том и только в том случае, если их направляющие векторы коллинеарны. Если прямые проходят через точки $M_1$ и $M_2$, то вектор $\vec{M_1M_2}$ является ее направляющим вектором.

Координаты вектора, образованного точками $A(x_1; y_1)$ и $B(x_2; y_2)$, вычисляются по формуле: $\vec{AB} = (x_2 - x_1; y_2 - y_1)$.

Два вектора $\vec{a} = (a_x; a_y)$ и $\vec{b} = (b_x; b_y)$ коллинеарны, если их соответствующие координаты пропорциональны. Это можно проверить с помощью условия: $a_x \cdot b_y = a_y \cdot b_x$. Если равенство выполняется, векторы коллинеарны, если нет — то не коллинеарны.

Даны точки: $A(-5; 6)$, $B(7; 2)$, $C(5; 1)$, $D(-4; 4)$.

а) AB и CD

1. Найдем координаты направляющего вектора $\vec{AB}$ для прямой AB: $\vec{AB} = (7 - (-5); 2 - 6) = (12; -4)$.

2. Найдем координаты направляющего вектора $\vec{CD}$ для прямой CD: $\vec{CD} = (-4 - 5; 4 - 1) = (-9; 3)$.

3. Проверим условие коллинеарности для векторов $\vec{AB}=(12; -4)$ и $\vec{CD}=(-9; 3)$. Сравним произведения координат: $12 \cdot 3 = 36$ $-4 \cdot (-9) = 36$

Поскольку $36 = 36$, равенство выполняется. Это означает, что векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ коллинеарны, а следовательно, прямые AB и CD параллельны (или лежат на одной прямой). Чтобы убедиться, что прямые не совпадают, можно проверить, лежит ли, например, точка C на прямой AB. Для этого вектор $\vec{AC}$ должен быть коллинеарен вектору $\vec{AB}$. $\vec{AC} = (5 - (-5); 1 - 6) = (10; -5)$. Проверяем коллинеарность $\vec{AB}=(12; -4)$ и $\vec{AC}=(10; -5)$: $12 \cdot (-5) = -60$ $-4 \cdot 10 = -40$ Так как $-60 \neq -40$, точка C не лежит на прямой AB, значит прямые различны.

Ответ: прямые AB и CD параллельны.

б) BC и AD

1. Найдем координаты направляющего вектора $\vec{BC}$ для прямой BC: $\vec{BC} = (5 - 7; 1 - 2) = (-2; -1)$.

2. Найдем координаты направляющего вектора $\vec{AD}$ для прямой AD: $\vec{AD} = (-4 - (-5); 4 - 6) = (1; -2)$.

3. Проверим условие коллинеарности для векторов $\vec{BC}=(-2; -1)$ и $\vec{AD}=(1; -2)$. Сравним произведения координат: $-2 \cdot (-2) = 4$ $-1 \cdot 1 = -1$

Поскольку $4 \neq -1$, равенство не выполняется. Это означает, что векторы $\vec{BC}$ и $\vec{AD}$ не коллинеарны, а следовательно, прямые BC и AD не параллельны.

Ответ: прямые BC и AD не параллельны.