Номер 4.109, страница 202 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.8. Геометрическая интерпретация неравенств с двумя переменными (Узнайте больше). Глава 4. Системы уравнений - номер 4.109, страница 202.

Условие.

4.109 Постройте множество точек плоскости, которое задаётся системой неравенств:

а) $\begin{cases}y \ge \frac{1}{3}x \\y \le 6 \\y \ge 0;\end{cases}$

б) $\begin{cases}y \ge x - 1 \\y \le x + 1;\end{cases}$

в) $\begin{cases}y \ge |x| \\y \le 5;\end{cases}$

г) $\begin{cases}y \ge -x + 4 \\y \ge x - 4 \\y \le \frac{1}{4}x + 2.\end{cases}$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Рассмотрим систему неравенств: $ \begin{cases} y \ge \frac{1}{3}x \\ y \le 6 \\ y \ge 0 \end{cases} $
Данная система задает на плоскости множество точек, которое является пересечением трех полуплоскостей.
1. Неравенство $y \ge \frac{1}{3}x$ задает полуплоскость, расположенную на и выше прямой $y = \frac{1}{3}x$.
2. Неравенство $y \le 6$ задает полуплоскость, расположенную на и ниже прямой $y = 6$.
3. Неравенство $y \ge 0$ задает полуплоскость, расположенную на и выше прямой $y = 0$ (ось абсцисс).
Искомое множество точек является пересечением этих трех областей. Это незамкнутая (бесконечная) фигура. Найдем ее границы.
Границами искомой фигуры являются части прямых $y = \frac{1}{3}x$, $y = 6$ и $y = 0$.
- Участок прямой $y = \frac{1}{3}x$ ограничен значениями $y$ от 0 до 6. Найдем соответствующие значения $x$. Если $y=0$, то $x=0$. Если $y=6$, то $x=18$. Таким образом, одной из границ является отрезок прямой $y = \frac{1}{3}x$ от точки (0,0) до (18,6).
- Участок прямой $y = 0$. Условие $y \ge \frac{1}{3}x$ при $y=0$ дает $0 \ge \frac{1}{3}x$, что равносильно $x \le 0$. Таким образом, границей является луч, идущий из точки (0,0) влево вдоль оси абсцисс.
- Участок прямой $y = 6$. Условие $y \ge \frac{1}{3}x$ при $y=6$ дает $6 \ge \frac{1}{3}x$, что равносильно $x \le 18$. Таким образом, границей является луч, идущий из точки (18,6) влево параллельно оси абсцисс.
Фигура представляет собой бесконечную трапецию.
Ответ: Множество точек является незамкнутой областью, ограниченной снизу лучом $y=0$ при $x \le 0$, сверху лучом $y=6$ при $x \le 18$, и справа отрезком прямой $y = \frac{1}{3}x$, соединяющим точки (0,0) и (18,6).

б) Рассмотрим систему неравенств: $ \begin{cases} y \ge x - 1 \\ y \le x + 1 \end{cases} $
1. Неравенство $y \ge x - 1$ задает полуплоскость, расположенную на и выше прямой $y = x - 1$.
2. Неравенство $y \le x + 1$ задает полуплоскость, расположенную на и ниже прямой $y = x + 1$.
Прямые $y = x - 1$ и $y = x + 1$ параллельны друг другу, так как у них одинаковый угловой коэффициент $k=1$. Искомое множество точек - это часть плоскости, заключенная между этими двумя параллельными прямыми, включая сами прямые.
Ответ: Множество точек представляет собой бесконечную полосу, заключенную между параллельными прямыми $y = x - 1$ и $y = x + 1$.

в) Рассмотрим систему неравенств: $ \begin{cases} y \ge |x| \\ y \le 5 \end{cases} $
1. Неравенство $y \ge |x|$ задает область на и выше графика функции $y=|x|$. График $y=|x|$ состоит из двух лучей: $y=x$ для $x \ge 0$ и $y=-x$ для $x < 0$.
2. Неравенство $y \le 5$ задает полуплоскость, расположенную на и ниже горизонтальной прямой $y = 5$.
Искомое множество точек - это пересечение этих двух областей, которое образует замкнутую фигуру. Найдем ее вершины как точки пересечения граничных прямых $y=x$, $y=-x$ и $y=5$.
- Пересечение $y = x$ и $y = -x$: $x=-x \implies 2x=0 \implies x=0$, тогда $y=0$. Вершина (0,0).
- Пересечение $y = 5$ и $y = x$: $x=5$. Вершина (5,5).
- Пересечение $y = 5$ и $y = -x$: $x=-5$. Вершина (-5,5).
Фигура является равнобедренным треугольником.
Ответ: Множество точек является треугольником с вершинами в точках (0,0), (5,5) и (-5,5).

г) Рассмотрим систему неравенств: $ \begin{cases} y \ge -x + 4 \\ y \ge x - 4 \\ y \le \frac{1}{4}x + 2 \end{cases} $
Искомое множество точек является пересечением трех полуплоскостей. Это замкнутая фигура (треугольник), ограниченная прямыми $y = -x + 4$, $y = x - 4$ и $y = \frac{1}{4}x + 2$. Найдем вершины этого треугольника, решая системы уравнений для пар этих прямых.
- Вершина A (пересечение прямых $y = -x + 4$ и $y = x - 4$):
$-x + 4 = x - 4 \implies 2x = 8 \implies x = 4$.
$y = 4 - 4 = 0$.
Вершина A имеет координаты (4,0).
- Вершина B (пересечение прямых $y = -x + 4$ и $y = \frac{1}{4}x + 2$):
$-x + 4 = \frac{1}{4}x + 2 \implies 2 = x + \frac{1}{4}x \implies 2 = \frac{5}{4}x \implies x = \frac{8}{5}$.
$y = - \frac{8}{5} + 4 = \frac{-8+20}{5} = \frac{12}{5}$.
Вершина B имеет координаты $(\frac{8}{5}, \frac{12}{5})$.
- Вершина C (пересечение прямых $y = x - 4$ и $y = \frac{1}{4}x + 2$):
$x - 4 = \frac{1}{4}x + 2 \implies x - \frac{1}{4}x = 6 \implies \frac{3}{4}x = 6 \implies x = 8$.
$y = 8 - 4 = 4$.
Вершина C имеет координаты (8,4).
Ответ: Множество точек является треугольником с вершинами в точках $(4,0)$, $(\frac{8}{5}, \frac{12}{5})$ и $(8,4)$.