Номер 4.111, страница 202 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.8. Геометрическая интерпретация неравенств с двумя переменными (Узнайте больше). Глава 4. Системы уравнений - номер 4.111, страница 202.

Условие.

4.111 Задайте системой неравенств множество точек координатной плоскости, изображённое на рисунках 4.40–4.43.

$y = x^2$

Рис. 4.40

$y = x^2$

Рис. 4.41

Рис. 4.42

Рис. 4.43

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Рис. 4.40

Заштрихованная область на данном рисунке ограничена двумя линиями: параболой $y=x^2$ и горизонтальной прямой $y=4$.

1. Область расположена выше параболы $y=x^2$ или на ней. Это условие описывается неравенством $y \ge x^2$. Граница (парабола) сплошная, поэтому неравенство нестрогое.

2. Область расположена ниже горизонтальной прямой $y=4$ или на ней. Это условие описывается неравенством $y \le 4$. Граница (прямая) также сплошная, поэтому неравенство нестрогое.

Объединив эти два условия, мы получаем систему неравенств, которая задает указанное множество точек.

Ответ: $$ \begin{cases} y \ge x^2 \\ y \le 4 \end{cases} $$

Рис. 4.41

Заштрихованная область ограничена параболой $y=x^2$ и прямой линией.

1. Как и в предыдущем случае, область находится выше параболы $y=x^2$ или на ней, что задается неравенством $y \ge x^2$.

2. Найдем уравнение прямой. Она проходит через начало координат, точку $(0,0)$, и точку $(2,4)$. Уравнение прямой, проходящей через начало координат, имеет вид $y=kx$. Подставим координаты точки $(2,4)$: $4 = k \cdot 2$, откуда находим угловой коэффициент $k=2$. Таким образом, уравнение прямой — $y=2x$.

3. Заштрихованная область находится ниже этой прямой или на ней, что соответствует неравенству $y \le 2x$.

Система неравенств, описывающая данную область, имеет вид:

Ответ: $$ \begin{cases} y \ge x^2 \\ y \le 2x \end{cases} $$

Рис. 4.42

Заштрихованная область представляет собой треугольник, ограниченный осью абсцисс и двумя пересекающимися прямыми.

1. Область находится выше оси абсцисс ($y=0$) или на ней, что задается неравенством $y \ge 0$.

2. Первая прямая проходит через точки $(0,2)$ и $(2,0)$. Ее уравнение можно найти по двум точкам. Угловой коэффициент $k = \frac{0-2}{2-0} = -1$. Сдвиг по оси y равен 2. Уравнение прямой: $y = -x+2$. Область находится ниже этой прямой, значит $y \le -x+2$, или $x+y \le 2$.

3. Вторая прямая проходит через точки $(0,2)$ и $(-2,0)$. Ее угловой коэффициент $k = \frac{0-2}{-2-0} = 1$. Сдвиг по оси y также равен 2. Уравнение прямой: $y = x+2$. Область находится ниже этой прямой, значит $y \le x+2$, или $y-x \le 2$.

Таким образом, мы имеем систему из трех неравенств. Два последних неравенства ($y \le x+2$ и $y \le -x+2$) можно объединить в одно с помощью модуля: $|x| + y \le 2$.

Итоговая система неравенств:

Ответ: $$ \begin{cases} |x| + y \le 2 \\ y \ge 0 \end{cases} $$

Рис. 4.43

Заштрихованная область находится внутри окружности, за исключением центральной вертикальной полосы.

1. Граница области — окружность с центром в начале координат $(0,0)$ и радиусом $R=2$. Ее уравнение $x^2 + y^2 = 2^2 = 4$. Поскольку заштрихованная область находится внутри окружности, включая ее границу, это описывается неравенством $x^2 + y^2 \le 4$.

2. Из области исключена вертикальная полоса между прямыми $x=-1$ и $x=1$. Это означает, что для точек заштрихованной области абсцисса $x$ должна быть либо меньше или равна $-1$, либо больше или равна $1$. Это условие можно записать как совокупность $[_{x \ge 1}^{x \le -1}$, что эквивалентно одному неравенству с модулем: $|x| \ge 1$.

Совмещая оба условия, получаем систему неравенств.

Ответ: $$ \begin{cases} x^2 + y^2 \le 4 \\ |x| \ge 1 \end{cases} $$