Номер 4.105, страница 199 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.7. Задачи на координатной плоскости. Глава 4. Системы уравнений - номер 4.105, страница 199.

Условие.

4.105 Постройте прямую $y = -\\frac{1}{3}x + 1$. Постройте прямую, симметричную ей относительно:

а) оси y;

б) оси x;

в) начала координат.

В каждом случае запишите уравнение построенной прямой.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Сначала построим заданную прямую $y = -\frac{1}{3}x + 1$. Для построения прямой достаточно найти координаты двух любых ее точек. Удобно найти точки пересечения с осями координат.

• При $x=0$, получаем $y = -\frac{1}{3} \cdot 0 + 1 = 1$. Таким образом, первая точка — это $(0, 1)$. Это точка пересечения с осью $y$.
• При $y=0$, получаем $0 = -\frac{1}{3}x + 1$, откуда $\frac{1}{3}x = 1$, и следовательно, $x = 3$. Таким образом, вторая точка — это $(3, 0)$. Это точка пересечения с осью $x$.

Проведя прямую через точки $(0, 1)$ и $(3, 0)$, мы получим график исходной функции. Теперь найдем уравнения прямых, симметричных данной.

а) Построим прямую, симметричную данной относительно оси $y$.

При симметричном отображении относительно оси $y$ каждая точка $(x, y)$ на графике функции переходит в точку $(-x, y)$. Чтобы получить уравнение новой прямой, необходимо в исходном уравнении $y = f(x)$ заменить $x$ на $-x$.

Исходное уравнение: $y = -\frac{1}{3}x + 1$.

Заменяем $x$ на $-x$:

$y = -\frac{1}{3}(-x) + 1$

$y = \frac{1}{3}x + 1$

Это и есть искомое уравнение. Для построения этой прямой можно отобразить точки $(0, 1)$ и $(3, 0)$ относительно оси $y$. Точка $(0, 1)$ лежит на оси $y$ и остается на месте. Точка $(3, 0)$ переходит в точку $(-3, 0)$. Новая прямая проходит через точки $(0, 1)$ и $(-3, 0)$.

Ответ: $y = \frac{1}{3}x + 1$.

б) Построим прямую, симметричную данной относительно оси $x$.

При симметричном отображении относительно оси $x$ каждая точка $(x, y)$ на графике функции переходит в точку $(x, -y)$. Чтобы получить уравнение новой прямой, необходимо в исходном уравнении $y = f(x)$ заменить $y$ на $-y$ (или, что то же самое, $f(x)$ на $-f(x)$).

Исходное уравнение: $y = -\frac{1}{3}x + 1$.

Заменяем $y$ на $-y$:

$-y = -\frac{1}{3}x + 1$

Умножим обе части уравнения на $-1$, чтобы выразить $y$:

$y = \frac{1}{3}x - 1$

Это и есть искомое уравнение. Для построения этой прямой отобразим точки $(0, 1)$ и $(3, 0)$ относительно оси $x$. Точка $(0, 1)$ переходит в точку $(0, -1)$. Точка $(3, 0)$ лежит на оси $x$ и остается на месте. Новая прямая проходит через точки $(0, -1)$ и $(3, 0)$.

Ответ: $y = \frac{1}{3}x - 1$.

в) Построим прямую, симметричную данной относительно начала координат.

При симметричном отображении относительно начала координат каждая точка $(x, y)$ на графике функции переходит в точку $(-x, -y)$. Чтобы получить уравнение новой прямой, необходимо в исходном уравнении $y = f(x)$ заменить одновременно $x$ на $-x$ и $y$ на $-y$.

Исходное уравнение: $y = -\frac{1}{3}x + 1$.

Заменяем $x$ на $-x$ и $y$ на $-y$:

$-y = -\frac{1}{3}(-x) + 1$

$-y = \frac{1}{3}x + 1$

Умножим обе части уравнения на $-1$, чтобы выразить $y$:

$y = -\frac{1}{3}x - 1$

Это и есть искомое уравнение. Для построения этой прямой отобразим точки $(0, 1)$ и $(3, 0)$ относительно начала координат. Точка $(0, 1)$ переходит в точку $(0, -1)$. Точка $(3, 0)$ переходит в точку $(-3, 0)$. Новая прямая проходит через точки $(0, -1)$ и $(-3, 0)$.

Ответ: $y = -\frac{1}{3}x - 1$.