Номер 3, страница 197 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.7. Задачи на координатной плоскости. Вопросы к параграфу. Глава 4. Системы уравнений - номер 3, страница 197.

Условие.

1) В чём состоит приём, использованный для решения задачи 3?

2) Решите эту же задачу, вычислив сначала координаты точки пересечения второй и третьей из приведённых прямых.

Решение 3.

Решение 4.

1) В чём состоит приём, использованный для решения задачи 3?

Приём, который, вероятно, был использован для решения задачи 3, называется методом пучка прямых. Этот метод позволяет найти уравнение прямой, проходящей через точку пересечения двух других известных прямых, без необходимости вычислять координаты самой точки пересечения.

Суть метода заключается в следующем: если даны две пересекающиеся прямые, заданные общими уравнениями $A_1x + B_1y + C_1 = 0$ и $A_2x + B_2y + C_2 = 0$, то уравнение любой прямой, проходящей через их точку пересечения (кроме, возможно, второй прямой), можно записать в виде:

$A_1x + B_1y + C_1 + \lambda(A_2x + B_2y + C_2) = 0$

Здесь $\lambda$ (лямбда) — это числовой параметр. Чтобы найти искомую прямую, нужно определить значение этого параметра. Это делается с помощью дополнительного условия, которому должна удовлетворять прямая (например, она должна проходить через другую заданную точку, быть параллельной или перпендикулярной какой-либо другой прямой и т.д.). После нахождения $\lambda$ и подстановки его в уравнение пучка, получают уравнение искомой прямой.

Ответ: Приём состоит в использовании уравнения пучка прямых, которое позволяет найти уравнение искомой прямой, проходящей через точку пересечения двух других прямых, не вычисляя координаты этой точки.

2) Решите эту же задачу, вычислив сначала координаты точки пересечения второй и третьей из приведённых прямых.

Поскольку уравнения прямых из исходной задачи 3 не предоставлены, для демонстрации метода решим следующую типичную задачу:

Задача: Найти уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых $L_2: 2x + y - 1 = 0$ и $L_3: x - 3y + 10 = 0$ и параллельной прямой $L_1: 5x + y - 8 = 0$.

Шаг 1: Вычисление координат точки пересечения.

Найдём точку пересечения прямых $L_2$ и $L_3$, решив систему их уравнений:

$\begin{cases} 2x + y - 1 = 0 \\ x - 3y + 10 = 0 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $y$: $y = 1 - 2x$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$x - 3(1 - 2x) + 10 = 0$

$x - 3 + 6x + 10 = 0$

$7x + 7 = 0$

$7x = -7$

$x = -1$

Теперь найдём $y$, подставив значение $x$ в выражение для $y$:

$y = 1 - 2(-1) = 1 + 2 = 3$

Таким образом, точка пересечения прямых $L_2$ и $L_3$ — это точка $M(-1, 3)$.

Шаг 2: Нахождение уравнения искомой прямой.

Искомая прямая должна проходить через точку $M(-1, 3)$ и быть параллельной прямой $L_1: 5x + y - 8 = 0$.

Прямая, параллельная прямой $Ax + By + C = 0$, имеет вид $Ax + By + D = 0$. Значит, уравнение нашей прямой будет иметь вид $5x + y + D = 0$.

Чтобы найти коэффициент $D$, подставим координаты точки $M(-1, 3)$ в это уравнение, так как прямая проходит через неё:

$5(-1) + 3 + D = 0$

$-5 + 3 + D = 0$

$-2 + D = 0$

$D = 2$

Подставив значение $D$ обратно, получаем итоговое уравнение прямой.

Ответ: $5x + y + 2 = 0$.