Номер 4.89, страница 195 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.6. Решение задач с помощью систем уравнений. Глава 4. Системы уравнений - номер 4.89, страница 195.

Условие.

4.89 a) В колбу налили некоторое количество 60 %-ного раствора соли и некоторое количество 80 %-ного раствора этой же соли. Получили 35 мл раствора, содержащего 72 % соли. Сколько миллилитров каждого раствора налили в колбу? Решите задачу, используя следующий план:

1) Обозначьте буквами количество 60 %-ного и 80 %-ного растворов соли, налитых в колбу.

2) Запишите уравнение, связывающее эти две величины и общее количество раствора.

3) Определите количество соли в получившемся растворе.

4) Запишите уравнение, связывающее количество соли в 60 %-ном, 80 %-ном и получившемся растворах.

5) Составьте систему и решите её.

б) Для проведения опыта научный сотрудник химической лаборатории смешал 4 %-ный и 10 %-ный растворы некоторого химического вещества и получил 75 мл 8 %-ного раствора этого вещества. Сколько миллилитров 4 %-ного и сколько миллилитров 10 %-ного растворов было взято?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

1) Пусть $x$ мл - количество 60%-ного раствора соли, а $y$ мл - количество 80%-ного раствора соли.

2) Общий объем полученного раствора составляет 35 мл. Это сумма объемов двух исходных растворов. Следовательно, уравнение, связывающее эти величины:

$x + y = 35$

3) Получившийся раствор имеет объем 35 мл и содержит 72% соли. Количество соли в нем (объем чистого вещества) составляет:

$35 \text{ мл} \times 72\% = 35 \times 0.72 = 25.2 \text{ мл}$

4) Количество соли в 60%-ном растворе равно $0.6x$. Количество соли в 80%-ном растворе равно $0.8y$. Сумма количества соли в исходных растворах равна количеству соли в получившемся растворе. Уравнение, связывающее количество соли:

$0.6x + 0.8y = 25.2$

5) Составим систему из двух уравнений, полученных в пунктах 2 и 4, и решим её.

$$ \begin{cases} x + y = 35 \\ 0.6x + 0.8y = 25.2 \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим $x$: $x = 35 - y$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$0.6(35 - y) + 0.8y = 25.2$

$21 - 0.6y + 0.8y = 25.2$

$0.2y = 25.2 - 21$

$0.2y = 4.2$

$y = \frac{4.2}{0.2} = 21$

Теперь найдем $x$:

$x = 35 - y = 35 - 21 = 14$

Таким образом, в колбу налили 14 мл 60%-ного раствора и 21 мл 80%-ного раствора.

Ответ: налили 14 мл 60%-ного раствора и 21 мл 80%-ного раствора.

б)

Для решения этой задачи составим систему уравнений. Пусть $a$ мл — объем взятого 4%-ного раствора, а $b$ мл — объем взятого 10%-ного раствора.

По условию, общий объем полученного раствора равен 75 мл. Составим первое уравнение:

$a + b = 75$

Количество химического вещества в 4%-ном растворе составляет $0.04a$. Количество вещества в 10%-ном растворе составляет $0.10b$. В полученном 75 мл 8%-ном растворе количество вещества составляет $75 \times 0.08 = 6$ мл.

Сумма количества вещества в исходных растворах равна количеству вещества в конечном растворе. Составим второе уравнение:

$0.04a + 0.10b = 6$

Получим систему уравнений:

$$ \begin{cases} a + b = 75 \\ 0.04a + 0.10b = 6 \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим $a$: $a = 75 - b$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$0.04(75 - b) + 0.10b = 6$

$3 - 0.04b + 0.10b = 6$

$0.06b = 6 - 3$

$0.06b = 3$

$b = \frac{3}{0.06} = 50$

Теперь найдем $a$:

$a = 75 - b = 75 - 50 = 25$

Следовательно, было взято 25 мл 4%-ного раствора и 50 мл 10%-ного раствора.

Ответ: было взято 25 мл 4%-ного раствора и 50 мл 10%-ного раствора.