Номер 4.84, страница 194 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.6. Решение задач с помощью систем уравнений. Глава 4. Системы уравнений - номер 4.84, страница 194.

Условие.

4.84 а) В парке под аттракционы отвели участок прямоугольной формы площадью $720 \text{ м}^2$. Длина ограждения этого участка $108 \text{ м}$. Найдите размеры участка.

б) Площадь газона прямоугольной формы $375 \text{ м}^2$. Одна из его сторон на $10 \text{ м}$ больше другой. Найдите размеры газона.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Пусть стороны прямоугольного участка равны a и b метров.

Площадь участка, S, вычисляется по формуле $S = a \cdot b$. Длина ограждения – это периметр, P, который вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$.

Согласно условию задачи, имеем систему уравнений:
$ \begin{cases} a \cdot b = 720 \\ 2(a + b) = 108 \end{cases} $

Из второго уравнения выразим сумму сторон:
$a + b = \frac{108}{2}$
$a + b = 54$

Теперь система выглядит так:
$ \begin{cases} a \cdot b = 720 \\ a + b = 54 \end{cases} $

По теореме, обратной теореме Виета, числа a и b являются корнями квадратного уравнения $x^2 - (a+b)x + ab = 0$. Подставим наши значения:
$x^2 - 54x + 720 = 0$

Найдем дискриминант D:
$D = b^2 - 4ac = (-54)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 720 = 2916 - 2880 = 36$
$\sqrt{D} = \sqrt{36} = 6$

Найдем корни уравнения, которые и будут являться сторонами прямоугольника:
$x_1 = \frac{-(-54) + 6}{2} = \frac{60}{2} = 30$
$x_2 = \frac{-(-54) - 6}{2} = \frac{48}{2} = 24$

Таким образом, размеры участка составляют 30 м и 24 м.

Ответ: размеры участка 30 м и 24 м.

б)

Пусть одна сторона газона равна x метров. Тогда другая сторона, согласно условию, на 10 м больше, то есть равна $(x + 10)$ метров.

Площадь газона, S, вычисляется как произведение его сторон:
$S = x \cdot (x + 10)$

По условию, площадь равна 375 м². Составим и решим уравнение:
$x \cdot (x + 10) = 375$
$x^2 + 10x - 375 = 0$

Найдем дискриминант D:
$D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-375) = 100 + 1500 = 1600$
$\sqrt{D} = \sqrt{1600} = 40$

Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-10 + 40}{2} = \frac{30}{2} = 15$
$x_2 = \frac{-10 - 40}{2} = \frac{-50}{2} = -25$

Так как длина стороны не может быть отрицательной, выбираем корень $x_1 = 15$.

Следовательно, одна сторона газона равна 15 м.
Вторая сторона равна $x + 10 = 15 + 10 = 25$ м.

Ответ: размеры газона 15 м и 25 м.