Номер 4.83, страница 194 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.6. Решение задач с помощью систем уравнений. Глава 4. Системы уравнений - номер 4.83, страница 194.

Условие.

4.83 a) Произведение двух чисел равно 84, а их сумма равна 20. Найдите эти числа.

б) Произведение двух положительных чисел равно 120, и одно из них на 7 больше другого. Найдите эти числа.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Пусть искомые числа – это $x$ и $y$. Согласно условию задачи, их произведение равно 84, а сумма равна 20. Это можно записать в виде системы уравнений:

$\begin{cases} x \cdot y = 84 \\ x + y = 20 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $y$ через $x$: $y = 20 - x$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$x(20 - x) = 84$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:

$20x - x^2 = 84$

$x^2 - 20x + 84 = 0$

Это квадратное уравнение, корни которого и будут искомыми числами. Решим его, найдя дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 84 = 400 - 336 = 64$

Теперь найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-20) + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{20 + 8}{2} = \frac{28}{2} = 14$

$x_2 = \frac{-(-20) - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{20 - 8}{2} = \frac{12}{2} = 6$

Таким образом, искомые числа – это 14 и 6. Проверим: их сумма $14 + 6 = 20$, а их произведение $14 \cdot 6 = 84$.

Ответ: 14 и 6.

б)

Пусть одно положительное число равно $x$, тогда второе, которое на 7 больше, равно $x + 7$. По условию, их произведение равно 120. Составим уравнение:

$x(x + 7) = 120$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$x^2 + 7x = 120$

$x^2 + 7x - 120 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-120) = 49 + 480 = 529$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + \sqrt{529}}{2} = \frac{-7 + 23}{2} = \frac{16}{2} = 8$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - \sqrt{529}}{2} = \frac{-7 - 23}{2} = \frac{-30}{2} = -15$

Поскольку в условии сказано, что числа положительные, корень $x_2 = -15$ не удовлетворяет этому условию. Значит, первое число равно 8.

Тогда второе число равно $x + 7 = 8 + 7 = 15$.

Проверим: числа 8 и 15 положительные, их произведение $8 \cdot 15 = 120$, и одно больше другого на $15 - 8 = 7$.

Ответ: 8 и 15.