Номер 4.81, страница 193 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.6. Решение задач с помощью систем уравнений. Глава 4. Системы уравнений - номер 4.81, страница 193.

Условие.

4.81 a) Клиент банка внёс 12 000 р. на два разных вклада. По одному из них банк выплачивает $8 \%$ в год, по другому — $10 \%$ в год. Через год внесённая сумма увеличилась на 1080 р. Сколько рублей внёс клиент на каждый из вкладов?

б) В выборах школьного совета участвовало 900 учащихся. За кандидата А проголосовало $15 \%$ девочек и $20 \%$ мальчиков, всего 159 учащихся. Сколько девочек и сколько мальчиков участвовало в выборах совета?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Для решения этой задачи составим систему уравнений. Пусть $x$ рублей — это сумма, которую клиент внёс на первый вклад под 8% годовых, а $y$ рублей — сумма, которую он внёс на второй вклад под 10% годовых.

1. Общая сумма, внесённая на два вклада, составляет 12 000 рублей. Это даёт нам первое уравнение:

$x + y = 12000$

2. Через год доход от первого вклада составил 8% от $x$, то есть $0.08x$ рублей. Доход от второго вклада составил 10% от $y$, то есть $0.10y$ рублей. Общий доход (увеличение суммы) составил 1080 рублей. Это даёт нам второе уравнение:

$0.08x + 0.10y = 1080$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:

$\begin{cases} x + y = 12000 \\ 0.08x + 0.10y = 1080 \end{cases}$

Выразим $y$ из первого уравнения: $y = 12000 - x$.

Подставим это выражение во второе уравнение, чтобы найти $x$:

$0.08x + 0.10(12000 - x) = 1080$

Раскроем скобки и решим уравнение:

$0.08x + 1200 - 0.10x = 1080$

$-0.02x = 1080 - 1200$

$-0.02x = -120$

$x = \frac{-120}{-0.02} = 6000$

Итак, на первый вклад (под 8%) было внесено 6000 рублей.

Теперь найдём сумму второго вклада, подставив значение $x$ в выражение для $y$:

$y = 12000 - 6000 = 6000$

На второй вклад (под 10%) также было внесено 6000 рублей.

Ответ: на каждый из вкладов клиент внёс по 6000 рублей.

б)

Для решения этой задачи также составим систему уравнений. Пусть $g$ — это количество девочек, участвовавших в выборах, а $b$ — количество мальчиков.

1. Всего в выборах школьного совета участвовало 900 учащихся. Это даёт нам первое уравнение:

$g + b = 900$

2. За кандидата А проголосовало 15% девочек ($0.15g$) и 20% мальчиков ($0.20b$). Всего за этого кандидата было отдано 159 голосов. Это даёт нам второе уравнение:

$0.15g + 0.20b = 159$

Получили систему из двух линейных уравнений:

$\begin{cases} g + b = 900 \\ 0.15g + 0.20b = 159 \end{cases}$

Выразим $b$ из первого уравнения: $b = 900 - g$.

Подставим это выражение во второе уравнение, чтобы найти $g$:

$0.15g + 0.20(900 - g) = 159$

Раскроем скобки и решим уравнение:

$0.15g + 180 - 0.20g = 159$

$-0.05g = 159 - 180$

$-0.05g = -21$

$g = \frac{-21}{-0.05} = 420$

Итак, в выборах участвовало 420 девочек.

Теперь найдём количество мальчиков, подставив значение $g$ в выражение для $b$:

$b = 900 - 420 = 480$

В выборах участвовало 480 мальчиков.

Ответ: в выборах совета участвовало 420 девочек и 480 мальчиков.