Номер 1, страница 192 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.6. Решение задач с помощью систем уравнений. Вопросы к параграфу. Глава 4. Системы уравнений - номер 1, страница 192.

Условие.

Разберите алгебраическое решение задачи из рассказа А. П. Чехова «Репетитор» (фрагмент 1).

1) Какие величины обозначены буквами $x$ и $y$?

2) Какое буквенное выражение означает стоимость синего сукна; чёрного сукна; их суммарную стоимость?

3) Какое буквенное выражение означает общее количество сукна?

4) Решите составленную систему способом сложения, исключив переменную $y$.

Решение 3.

Решение 4.

1) Какие величины обозначены буквами x и y?

Для алгебраического решения задачи из рассказа А. П. Чехова «Репетитор» необходимо сначала определить неизвестные величины. Условие задачи таково: купец купил 138 аршин черного и синего сукна за 540 рублей. Синее сукно стоило 5 рублей за аршин, а чёрное — 3 рубля за аршин. Требуется найти, сколько аршин каждого вида сукна было куплено.
Неизвестными величинами, которые мы ищем, являются количество (длина в аршинах) синего и чёрного сукна.
Принято обозначать неизвестные переменными. Пусть $x$ — это количество аршин синего сукна, а $y$ — количество аршин чёрного сукна.
Ответ: Буквой $x$ обозначено количество аршин синего сукна, а буквой $y$ — количество аршин чёрного сукна.

2) Какое буквенное выражение означает стоимость синего сукна; чёрного сукна; их суммарную стоимость?

Стоимость покупки вычисляется как произведение цены товара на его количество.
- Стоимость синего сукна: цена одного аршина синего сукна — 5 рублей, а куплено $x$ аршин. Следовательно, буквенное выражение для стоимости всего синего сукна: $5x$.
- Стоимость чёрного сукна: цена одного аршина чёрного сукна — 3 рубля, а куплено $y$ аршин. Следовательно, буквенное выражение для стоимости всего чёрного сукна: $3y$.
- Их суммарная стоимость: это общая сумма, потраченная на оба вида сукна. Она равна сумме стоимости синего и чёрного сукна. Буквенное выражение для суммарной стоимости: $5x + 3y$. Согласно условию задачи, эта стоимость равна 540 рублям, что даёт нам уравнение $5x + 3y = 540$.
Ответ: Стоимость синего сукна — $5x$, стоимость чёрного сукна — $3y$, их суммарная стоимость — $5x + 3y$.

3) Какое буквенное выражение означает общее количество сукна?

Общее количество (общая длина) сукна — это сумма длин купленного синего и чёрного сукна.
Поскольку количество синего сукна равно $x$ аршин, а чёрного — $y$ аршин, то их общее количество выражается суммой $x + y$. По условию задачи, это общее количество равно 138 аршинам, что даёт нам второе уравнение: $x + y = 138$.
Ответ: Общее количество сукна означает буквенное выражение $x + y$.

4) Решите составленную систему способом сложения, исключив переменную y.

На основе предыдущих пунктов мы составили систему двух линейных уравнений с двумя переменными $x$ и $y$:
$ \begin{cases} x + y = 138 \\ 5x + 3y = 540 \end{cases} $
Чтобы решить эту систему методом алгебраического сложения и исключить переменную $y$, необходимо сделать коэффициенты при $y$ в обоих уравнениях противоположными числами. В первом уравнении коэффициент при $y$ равен 1, во втором — 3. Умножим все члены первого уравнения на -3.
$ (x + y = 138) \cdot (-3) \implies -3x - 3y = -414 $
Теперь наша система уравнений имеет вид:
$ \begin{cases} -3x - 3y = -414 \\ 5x + 3y = 540 \end{cases} $
Теперь почленно сложим левые и правые части уравнений. Переменная $y$ взаимно уничтожится.
$ (-3x - 3y) + (5x + 3y) = -414 + 540 $
$ (-3x + 5x) + (-3y + 3y) = 126 $
$ 2x = 126 $
Теперь найдём $x$:
$ x = \frac{126}{2} $
$ x = 63 $
Мы нашли количество синего сукна. Чтобы найти количество чёрного сукна ($y$), подставим найденное значение $x=63$ в первое, более простое, исходное уравнение $x + y = 138$:
$ 63 + y = 138 $
$ y = 138 - 63 $
$ y = 75 $
Таким образом, было куплено 63 аршина синего сукна и 75 аршин чёрного сукна.
Ответ: $x = 63$, $y = 75$.