Номер 4.73, страница 190 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.5. Решение систем уравнений способом подстановки. Глава 4. Системы уравнений - номер 4.73, страница 190.

Условие.

4.73 Решите систему способом подстановки:

а) $\begin{cases} m = 4p \\ n = -5p \\ m + 4n = 40; \end{cases}$

б) $\begin{cases} a = c + 1 \\ b = 2c - 1 \\ a - b = 3; \end{cases}$

в) $\begin{cases} s = 2v - 3 \\ u = v - 5 \\ 2s - 3u = 10. \end{cases}$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} m = 4p \\ n = -5p \\ m + 4n = 40 \end{cases} $

Метод подстановки заключается в том, чтобы выразить одни переменные через другие и подставить эти выражения в одно из уравнений системы. В данном случае переменные $m$ и $n$ уже выражены через $p$ в первых двух уравнениях.

Подставим выражения для $m$ и $n$ в третье уравнение системы:

$(4p) + 4(-5p) = 40$

Теперь решим полученное уравнение с одной переменной $p$:

$4p - 20p = 40$

$-16p = 40$

$p = \frac{40}{-16} = -\frac{5}{2} = -2.5$

Мы нашли значение $p$. Теперь, чтобы найти $m$ и $n$, подставим значение $p$ в первое и второе уравнения:

$m = 4p = 4 \cdot (-2.5) = -10$

$n = -5p = -5 \cdot (-2.5) = 12.5$

Проверим решение, подставив найденные значения в третье уравнение: $-10 + 4 \cdot 12.5 = -10 + 50 = 40$. Равенство верно.

Ответ: $m = -10$, $n = 12.5$, $p = -2.5$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} a = c + 1 \\ b = 2c - 1 \\ a - b = 3 \end{cases} $

Переменные $a$ и $b$ уже выражены через $c$. Подставим эти выражения в третье уравнение системы:

$(c + 1) - (2c - 1) = 3$

Решим полученное уравнение относительно $c$. Раскроем скобки:

$c + 1 - 2c + 1 = 3$

Приведем подобные слагаемые:

$-c + 2 = 3$

$-c = 3 - 2$

$-c = 1$

$c = -1$

Теперь найдем значения $a$ и $b$, подставив $c = -1$ в первые два уравнения:

$a = c + 1 = -1 + 1 = 0$

$b = 2c - 1 = 2(-1) - 1 = -2 - 1 = -3$

Проверим решение, подставив найденные значения в третье уравнение: $0 - (-3) = 3$. Равенство верно.

Ответ: $a = 0$, $b = -3$, $c = -1$.

в)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} s = 2v - 3 \\ u = v - 5 \\ 2s - 3u = 10 \end{cases} $

Переменные $s$ и $u$ выражены через $v$. Подставим эти выражения в третье уравнение:

$2(2v - 3) - 3(v - 5) = 10$

Решим это уравнение. Сначала раскроем скобки:

$4v - 6 - 3v + 15 = 10$

Приведем подобные слагаемые:

$(4v - 3v) + (-6 + 15) = 10$

$v + 9 = 10$

$v = 10 - 9$

$v = 1$

Теперь, зная $v$, найдем $s$ и $u$, подставив $v = 1$ в первые два уравнения:

$s = 2v - 3 = 2(1) - 3 = 2 - 3 = -1$

$u = v - 5 = 1 - 5 = -4$

Проверим решение, подставив найденные значения в третье уравнение: $2(-1) - 3(-4) = -2 + 12 = 10$. Равенство верно.

Ответ: $s = -1$, $u = -4$, $v = 1$.