Номер 4.66, страница 188 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.5. Решение систем уравнений способом подстановки. Глава 4. Системы уравнений - номер 4.66, страница 188.

Условие.

4.66 Решите систему уравнений, применив любой из известных вам способов:

a) $ \begin{cases} 3m + 4n = 7 \\ 2m + n = 8 \end{cases} $;

б) $ \begin{cases} x - 2y = 3 \\ 5x + y = 4 \end{cases} $;

в) $ \begin{cases} 5a + 2b = 15 \\ 8a + 3b = -1 \end{cases} $;

г) $ \begin{cases} 5p - 4q = 3 \\ 2p - 3q = 11 \end{cases} $;

д) $ \begin{cases} 8x - 2y = 14 \\ 9x + 4y = -3 \end{cases} $;

е) $ \begin{cases} 3y - z = 5 \\ 5y + 2z = 12 \end{cases} $.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} 3m + 4n = 7 \\ 2m + n = 8 \end{cases} $
Решим систему методом подстановки. Из второго уравнения выразим n:
$n = 8 - 2m$
Подставим это выражение в первое уравнение:
$3m + 4(8 - 2m) = 7$
$3m + 32 - 8m = 7$
$-5m = 7 - 32$
$-5m = -25$
$m = 5$
Теперь найдем n, подставив значение m в выражение для n:
$n = 8 - 2(5) = 8 - 10 = -2$
Проверка:
$3(5) + 4(-2) = 15 - 8 = 7$
$2(5) + (-2) = 10 - 2 = 8$
Ответ: $m=5, n=-2$.

б) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x - 2y = 3 \\ 5x + y = 4 \end{cases} $
Решим систему методом подстановки. Из второго уравнения выразим y:
$y = 4 - 5x$
Подставим это выражение в первое уравнение:
$x - 2(4 - 5x) = 3$
$x - 8 + 10x = 3$
$11x = 11$
$x = 1$
Теперь найдем y, подставив значение x:
$y = 4 - 5(1) = 4 - 5 = -1$
Проверка:
$1 - 2(-1) = 1 + 2 = 3$
$5(1) + (-1) = 5 - 1 = 4$
Ответ: $x=1, y=-1$.

в) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} 5a + 2b = 15 \\ 8a + 3b = -1 \end{cases} $
Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 3, а второе на -2, чтобы коэффициенты при b стали противоположными:
$ \begin{cases} 15a + 6b = 45 \\ -16a - 6b = 2 \end{cases} $
Сложим уравнения:
$(15a + 6b) + (-16a - 6b) = 45 + 2$
$-a = 47$
$a = -47$
Подставим значение a в первое исходное уравнение:
$5(-47) + 2b = 15$
$-235 + 2b = 15$
$2b = 250$
$b = 125$
Проверка:
$5(-47) + 2(125) = -235 + 250 = 15$
$8(-47) + 3(125) = -376 + 375 = -1$
Ответ: $a=-47, b=125$.

г) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} 5p - 4q = 3 \\ 2p - 3q = 11 \end{cases} $
Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 2, а второе на -5, чтобы коэффициенты при p стали противоположными:
$ \begin{cases} 10p - 8q = 6 \\ -10p + 15q = -55 \end{cases} $
Сложим уравнения:
$(10p - 8q) + (-10p + 15q) = 6 - 55$
$7q = -49$
$q = -7$
Подставим значение q в первое исходное уравнение:
$5p - 4(-7) = 3$
$5p + 28 = 3$
$5p = -25$
$p = -5$
Проверка:
$5(-5) - 4(-7) = -25 + 28 = 3$
$2(-5) - 3(-7) = -10 + 21 = 11$
Ответ: $p=-5, q=-7$.

д) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} 8x - 2y = 14 \\ 9x + 4y = -3 \end{cases} $
Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 2, чтобы коэффициенты при y стали противоположными:
$ \begin{cases} 16x - 4y = 28 \\ 9x + 4y = -3 \end{cases} $
Сложим уравнения:
$(16x - 4y) + (9x + 4y) = 28 - 3$
$25x = 25$
$x = 1$
Подставим значение x во второе исходное уравнение:
$9(1) + 4y = -3$
$9 + 4y = -3$
$4y = -12$
$y = -3$
Проверка:
$8(1) - 2(-3) = 8 + 6 = 14$
$9(1) + 4(-3) = 9 - 12 = -3$
Ответ: $x=1, y=-3$.

е) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} 3y - z = 5 \\ 5y + 2z = 12 \end{cases} $
Решим систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим z:
$z = 3y - 5$
Подставим это выражение во второе уравнение:
$5y + 2(3y - 5) = 12$
$5y + 6y - 10 = 12$
$11y = 22$
$y = 2$
Теперь найдем z, подставив значение y:
$z = 3(2) - 5 = 6 - 5 = 1$
Проверка:
$3(2) - 1 = 6 - 1 = 5$
$5(2) + 2(1) = 10 + 2 = 12$
Ответ: $y=2, z=1$.