Номер 2, страница 188 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.5. Решение систем уравнений способом подстановки. Вопросы к параграфу. Глава 4. Системы уравнений - номер 2, страница 188.

Условие.

1) Что служит графиком уравнения $x^2 + y^2 = r^2$, где $r > 0$ (фрагмент 2)?

2) Запишите уравнение окружности с центром в начале координат и с радиусом, равным 4.

3) Сделайте схематический рисунок и определите, имеет ли решения система уравнений $\begin{cases} x^2 + y^2 = 10 \\ y = 2x - 1,5, \end{cases}$ и если имеет, то сколько.

Решение 3.

Решение 4.

1) Уравнение вида $x^2 + y^2 = r^2$, где $r > 0$, является каноническим уравнением окружности. В этом уравнении центр окружности находится в начале координат, то есть в точке с координатами $(0, 0)$, а $r$ представляет собой радиус этой окружности. Таким образом, графиком данного уравнения служит окружность с центром в начале координат и радиусом $r$.

Ответ: Окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $r$.

2) Для того чтобы записать уравнение окружности, воспользуемся стандартной формулой из предыдущего пункта: $x^2 + y^2 = r^2$. По условию задачи, центр окружности находится в начале координат, что соответствует данной формуле. Радиус окружности равен 4, то есть $r = 4$. Подставим это значение в уравнение:

$x^2 + y^2 = 4^2$

$x^2 + y^2 = 16$

Это и есть искомое уравнение.

Ответ: $x^2 + y^2 = 16$.

3) Чтобы определить, сколько решений имеет система уравнений, необходимо найти количество точек пересечения графиков этих уравнений. Решение системы — это координаты таких точек.

Первое уравнение, $x^2 + y^2 = 10$, задает окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $r = \sqrt{10}$. Так как $3^2=9$ и $4^2=16$, то радиус $r$ немного больше 3 (приблизительно $r \approx 3.16$).

Второе уравнение, $y = 2x - 1,5$, задает прямую линию. Для построения схематического рисунка найдем две точки, принадлежащие этой прямой, например, точки пересечения с осями координат:
Если $x=0$, то $y = 2 \cdot 0 - 1,5 = -1,5$. Точка $(0; -1,5)$.
Если $y=0$, то $0 = 2x - 1,5$, откуда $2x = 1,5$ и $x = 0,75$. Точка $(0,75; 0)$.

Изобразив на координатной плоскости окружность с центром в $(0,0)$ и радиусом $\approx 3.16$ и прямую, проходящую через точки $(0; -1,5)$ и $(0,75; 0)$, можно увидеть, что прямая пересекает окружность в двух точках. Это означает, что система имеет два решения.

Для проверки можно решить систему аналитически. Подставим выражение для $y$ из второго уравнения в первое:

$x^2 + (2x - 1,5)^2 = 10$

Раскроем скобки:

$x^2 + 4x^2 - 2 \cdot 2x \cdot 1,5 + (1,5)^2 = 10$

$x^2 + 4x^2 - 6x + 2,25 = 10$

Приведем подобные слагаемые и перенесем все в левую часть:

$5x^2 - 6x - 7,75 = 0$

Мы получили квадратное уравнение. Количество его решений зависит от знака дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-7,75) = 36 + 20 \cdot 7,75 = 36 + 155 = 191$

Поскольку дискриминант $D = 191 > 0$, квадратное уравнение имеет два различных действительных корня для $x$. Каждому из этих корней будет соответствовать одно значение $y$. Следовательно, система имеет два решения.

Ответ: Система имеет два решения.