Номер 4.60, страница 184 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.4. Системы уравнений. Решение систем способом сложения. Глава 4. Системы уравнений - номер 4.60, страница 184.

Условие.

4.60 Используя графические соображения, установите, какая из данных систем уравнений имеет единственное решение.

1) $\begin{cases} 2x - y = 8 \\ y - 2x = -8 \end{cases}$

2) $\begin{cases} 2x - 2y = 8 \\ y - x = 8 \end{cases}$

3) $\begin{cases} x - 2y = 8 \\ 2x - y = 8 \end{cases}$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1)

Рассмотрим систему уравнений $ \begin{cases} 2x - y = 8 \\ y - 2x = -8 \end{cases} $.

Для графического анализа необходимо представить каждое уравнение в виде линейной функции $y = kx + b$, где $k$ – это угловой коэффициент прямой, а $b$ – ордината точки пересечения прямой с осью Y.

Преобразуем первое уравнение: $2x - y = 8$.

$-y = -2x + 8$

$y = 2x - 8$

Угловой коэффициент $k_1 = 2$, точка пересечения с осью Y: $b_1 = -8$.

Преобразуем второе уравнение: $y - 2x = -8$.

$y = 2x - 8$

Угловой коэффициент $k_2 = 2$, точка пересечения с осью Y: $b_2 = -8$.

Поскольку угловые коэффициенты и точки пересечения с осью Y для обоих уравнений совпадают ($k_1 = k_2$ и $b_1 = b_2$), графики этих уравнений являются одной и той же прямой. Следовательно, система имеет бесконечное множество решений.

Ответ: система имеет бесконечное множество решений.

2)

Рассмотрим систему уравнений $ \begin{cases} 2x - 2y = 8 \\ y - x = 8 \end{cases} $.

Преобразуем каждое уравнение к виду $y = kx + b$.

Преобразуем первое уравнение: $2x - 2y = 8$.

Разделим обе части на 2: $x - y = 4$.

$-y = -x + 4$

$y = x - 4$

Угловой коэффициент $k_1 = 1$, точка пересечения с осью Y: $b_1 = -4$.

Преобразуем второе уравнение: $y - x = 8$.

$y = x + 8$

Угловой коэффициент $k_2 = 1$, точка пересечения с осью Y: $b_2 = 8$.

Так как угловые коэффициенты равны ($k_1 = k_2 = 1$), а точки пересечения с осью Y различны ($b_1 \neq b_2$), графики этих уравнений являются параллельными прямыми. Параллельные прямые никогда не пересекаются, поэтому система не имеет решений.

Ответ: система не имеет решений.

3)

Рассмотрим систему уравнений $ \begin{cases} x - 2y = 8 \\ 2x - y = 8 \end{cases} $.

Преобразуем каждое уравнение к виду $y = kx + b$.

Преобразуем первое уравнение: $x - 2y = 8$.

$-2y = -x + 8$

$y = \frac{1}{2}x - 4$

Угловой коэффициент $k_1 = \frac{1}{2}$, точка пересечения с осью Y: $b_1 = -4$.

Преобразуем второе уравнение: $2x - y = 8$.

$-y = -2x + 8$

$y = 2x - 8$

Угловой коэффициент $k_2 = 2$, точка пересечения с осью Y: $b_2 = -8$.

Поскольку угловые коэффициенты различны ($k_1 \neq k_2$), графики уравнений являются прямыми, которые пересекаются в одной точке. Наличие одной точки пересечения означает, что система имеет единственное решение.

Ответ: система имеет единственное решение.