Номер 4.56, страница 184 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.4. Системы уравнений. Решение систем способом сложения. Глава 4. Системы уравнений - номер 4.56, страница 184.

Условие.

Решите систему уравнений (4.56–4.57).

4.56 a) $$\begin{cases} 3u - 4v = 2 \\ 9u - 5v = 7; \end{cases}$$

б) $$\begin{cases} 6m - 9n = -4 \\ 2m + 5n = 4; \end{cases}$$

в) $$\begin{cases} 5y + 8z = 21 \\ 10y - 3z = -15. \end{cases}$$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

a) Решим систему уравнений методом алгебраического сложения.
$ \begin{cases} 3u - 4v = 2 \\ 9u - 5v = 7 \end{cases} $
Умножим первое уравнение на $-3$, чтобы коэффициенты при переменной $u$ стали противоположными числами:
$ \begin{cases} -3(3u - 4v) = -3 \cdot 2 \\ 9u - 5v = 7 \end{cases} $
$ \begin{cases} -9u + 12v = -6 \\ 9u - 5v = 7 \end{cases} $
Сложим почленно уравнения системы:
$(-9u + 9u) + (12v - 5v) = -6 + 7$
$7v = 1$
$v = \frac{1}{7}$
Подставим найденное значение $v$ в первое уравнение исходной системы ($3u - 4v = 2$), чтобы найти $u$:
$3u - 4 \cdot \frac{1}{7} = 2$
$3u - \frac{4}{7} = 2$
$3u = 2 + \frac{4}{7}$
$3u = \frac{14}{7} + \frac{4}{7}$
$3u = \frac{18}{7}$
$u = \frac{18}{7 \cdot 3} = \frac{6}{7}$
Выполним проверку, подставив найденные значения переменных во второе уравнение системы:
$9(\frac{6}{7}) - 5(\frac{1}{7}) = \frac{54}{7} - \frac{5}{7} = \frac{49}{7} = 7$.
$7 = 7$. Равенство верное, значит, система решена правильно.
Ответ: $u = \frac{6}{7}, v = \frac{1}{7}$.

б) Решим систему уравнений методом алгебраического сложения.
$ \begin{cases} 6m - 9n = -4 \\ 2m + 5n = 4 \end{cases} $
Умножим второе уравнение на $-3$, чтобы коэффициенты при переменной $m$ стали противоположными числами:
$ \begin{cases} 6m - 9n = -4 \\ -3(2m + 5n) = -3 \cdot 4 \end{cases} $
$ \begin{cases} 6m - 9n = -4 \\ -6m - 15n = -12 \end{cases} $
Сложим почленно уравнения системы:
$(6m - 6m) + (-9n - 15n) = -4 - 12$
$-24n = -16$
$n = \frac{-16}{-24} = \frac{2}{3}$
Подставим найденное значение $n$ во второе уравнение исходной системы ($2m + 5n = 4$), чтобы найти $m$:
$2m + 5 \cdot \frac{2}{3} = 4$
$2m + \frac{10}{3} = 4$
$2m = 4 - \frac{10}{3}$
$2m = \frac{12}{3} - \frac{10}{3}$
$2m = \frac{2}{3}$
$m = \frac{2}{3 \cdot 2} = \frac{1}{3}$
Выполним проверку, подставив найденные значения переменных в первое уравнение системы:
$6(\frac{1}{3}) - 9(\frac{2}{3}) = 2 - 6 = -4$.
$-4 = -4$. Равенство верное, значит, система решена правильно.
Ответ: $m = \frac{1}{3}, n = \frac{2}{3}$.

в) Решим систему уравнений методом алгебраического сложения.
$ \begin{cases} 5y + 8z = 21 \\ 10y - 3z = -15 \end{cases} $
Умножим первое уравнение на $-2$, чтобы коэффициенты при переменной $y$ стали противоположными числами:
$ \begin{cases} -2(5y + 8z) = -2 \cdot 21 \\ 10y - 3z = -15 \end{cases} $
$ \begin{cases} -10y - 16z = -42 \\ 10y - 3z = -15 \end{cases} $
Сложим почленно уравнения системы:
$(-10y + 10y) + (-16z - 3z) = -42 - 15$
$-19z = -57$
$z = \frac{-57}{-19} = 3$
Подставим найденное значение $z$ в первое уравнение исходной системы ($5y + 8z = 21$), чтобы найти $y$:
$5y + 8 \cdot 3 = 21$
$5y + 24 = 21$
$5y = 21 - 24$
$5y = -3$
$y = -\frac{3}{5}$
Выполним проверку, подставив найденные значения переменных во второе уравнение системы:
$10(-\frac{3}{5}) - 3(3) = -2 \cdot 3 - 9 = -6 - 9 = -15$.
$-15 = -15$. Равенство верное, значит, система решена правильно.
Ответ: $y = -\frac{3}{5}, z = 3$.