Номер 4.58, страница 184 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.4. Системы уравнений. Решение систем способом сложения. Глава 4. Системы уравнений - номер 4.58, страница 184.

Условие.

4.58 ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ Найдите координаты точки пересечения прямых:

a) $8x + y = 27$ и $5x - y = 25$;

б) $3x - y = 19$ и $x - y = -1$;

в) $x + y = 2$ и $4x - 7y = -10$;

г) $2x - y = 3$ и $4x + 3y = -15$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы найти координаты точки пересечения прямых, нужно решить систему уравнений:
$ \begin{cases} 8x + y = 27 \\ 5x - y = 25 \end{cases} $
Сложим два уравнения, чтобы исключить переменную $y$:
$(8x + y) + (5x - y) = 27 + 25$
$13x = 52$
$x = \frac{52}{13}$
$x = 4$
Теперь подставим значение $x = 4$ в первое уравнение, чтобы найти $y$:
$8(4) + y = 27$
$32 + y = 27$
$y = 27 - 32$
$y = -5$
Координаты точки пересечения: $(4; -5)$.
Ответ: $(4; -5)$

б) Решим систему уравнений:
$ \begin{cases} 3x - y = 19 \\ x - y = -1 \end{cases} $
Вычтем второе уравнение из первого, чтобы исключить переменную $y$:
$(3x - y) - (x - y) = 19 - (-1)$
$3x - y - x + y = 19 + 1$
$2x = 20$
$x = 10$
Подставим значение $x = 10$ во второе уравнение:
$10 - y = -1$
$-y = -1 - 10$
$-y = -11$
$y = 11$
Координаты точки пересечения: $(10; 11)$.
Ответ: $(10; 11)$

в) Решим систему уравнений:
$ \begin{cases} x + y = 2 \\ 4x - 7y = -10 \end{cases} $
Из первого уравнения выразим $x$:
$x = 2 - y$
Подставим это выражение во второе уравнение:
$4(2 - y) - 7y = -10$
$8 - 4y - 7y = -10$
$8 - 11y = -10$
$-11y = -10 - 8$
$-11y = -18$
$y = \frac{18}{11}$
Теперь найдем $x$, подставив значение $y$ в выражение $x = 2 - y$:
$x = 2 - \frac{18}{11} = \frac{22}{11} - \frac{18}{11} = \frac{4}{11}$
Координаты точки пересечения: $(\frac{4}{11}; \frac{18}{11})$.
Ответ: $(\frac{4}{11}; \frac{18}{11})$

г) Решим систему уравнений:
$ \begin{cases} 2x - y = 3 \\ 4x + 3y = -15 \end{cases} $
Умножим первое уравнение на 3, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными:
$3(2x - y) = 3 \cdot 3 \implies 6x - 3y = 9$
Теперь система выглядит так:
$ \begin{cases} 6x - 3y = 9 \\ 4x + 3y = -15 \end{cases} $
Сложим два уравнения:
$(6x - 3y) + (4x + 3y) = 9 + (-15)$
$10x = -6$
$x = -\frac{6}{10} = -\frac{3}{5}$
Подставим значение $x$ в первое исходное уравнение $2x - y = 3$:
$2(-\frac{3}{5}) - y = 3$
$-\frac{6}{5} - y = 3$
$-y = 3 + \frac{6}{5}$
$-y = \frac{15}{5} + \frac{6}{5}$
$-y = \frac{21}{5}$
$y = -\frac{21}{5}$
Координаты точки пересечения: $(-\frac{3}{5}; -\frac{21}{5})$.
Ответ: $(-\frac{3}{5}; -\frac{21}{5})$