Номер 4.61, страница 184 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.4. Системы уравнений. Решение систем способом сложения. Глава 4. Системы уравнений - номер 4.61, страница 184.

Условие.

4.61 Известно, что одно из двух уравнений системы — это уравнение $y = 0,5x - 3$, а вторым уравнением может быть любое уравнение из следующих:

$2y - x = 0$, $x + 2y = 0$, $x - 2y = 6$, $4y - 2x = 6$, $4y + 2x = 6$, $2y - x + 6 = 0$.

Используя графические представления, установите в каждом случае, имеет ли система решения, и если имеет, то сколько — одно или бесчисленное множество.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для определения количества решений системы двух линейных уравнений с двумя переменными, можно использовать их графические представления. Каждое такое уравнение задает прямую на координатной плоскости. Количество решений системы равно количеству точек пересечения графиков этих уравнений.

• Если прямые пересекаются в одной точке, система имеет одно решение. Это происходит, когда их угловые коэффициенты различны ($k_1 \neq k_2$).
• Если прямые параллельны и не совпадают, они не имеют общих точек, и система не имеет решений. Это происходит, когда их угловые коэффициенты равны, а свободные члены (точки пересечения с осью Y) различны ($k_1 = k_2, b_1 \neq b_2$).
• Если прямые совпадают, они имеют бесконечно много общих точек, и система имеет бесконечное множество решений. Это происходит, когда и угловые коэффициенты, и свободные члены равны ($k_1 = k_2, b_1 = b_2$).

Первое уравнение системы всегда $y = 0,5x - 3$. Это уравнение прямой в виде с угловым коэффициентом $k_1 = 0,5$ и сдвигом по оси Y $b_1 = -3$.

Чтобы проанализировать каждую систему, приведем второе уравнение к такому же виду $y = kx + b$ и сравним их параметры.

$2y - x = 0$

Рассмотрим систему:

$\begin{cases} y = 0,5x - 3 \\ 2y - x = 0 \end{cases}$

Преобразуем второе уравнение:

$2y = x \implies y = \frac{1}{2}x \implies y = 0,5x$

Сравниваем параметры двух прямых: $y = 0,5x - 3$ и $y = 0,5x$.

Угловые коэффициенты равны: $k_1 = k_2 = 0,5$.

Свободные члены различны: $b_1 = -3$, а $b_2 = 0$.

Поскольку угловые коэффициенты равны, а свободные члены нет, прямые параллельны и не совпадают. Значит, у системы нет точек пересечения.

Ответ: решений нет.

$x + 2y = 0$

Рассмотрим систему:

$\begin{cases} y = 0,5x - 3 \\ x + 2y = 0 \end{cases}$

Преобразуем второе уравнение:

$2y = -x \implies y = -\frac{1}{2}x \implies y = -0,5x$

Сравниваем параметры двух прямых: $y = 0,5x - 3$ и $y = -0,5x$.

Угловые коэффициенты различны: $k_1 = 0,5$ и $k_2 = -0,5$.

Поскольку угловые коэффициенты различны, прямые пересекаются в одной точке.

Ответ: одно решение.

$x - 2y = 6$

Рассмотрим систему:

$\begin{cases} y = 0,5x - 3 \\ x - 2y = 6 \end{cases}$

Преобразуем второе уравнение:

$-2y = -x + 6 \implies y = \frac{-x}{-2} + \frac{6}{-2} \implies y = 0,5x - 3$

Второе уравнение после преобразования полностью совпадает с первым. Угловые коэффициенты и свободные члены равны: $k_1 = k_2 = 0,5$ и $b_1 = b_2 = -3$.

Поскольку уравнения описывают одну и ту же прямую, их графики совпадают.

Ответ: бесконечное множество решений.

$4y - 2x = 6$

Рассмотрим систему:

$\begin{cases} y = 0,5x - 3 \\ 4y - 2x = 6 \end{cases}$

Преобразуем второе уравнение:

$4y = 2x + 6 \implies y = \frac{2}{4}x + \frac{6}{4} \implies y = 0,5x + 1,5$

Сравниваем параметры двух прямых: $y = 0,5x - 3$ и $y = 0,5x + 1,5$.

Угловые коэффициенты равны: $k_1 = k_2 = 0,5$.

Свободные члены различны: $b_1 = -3$ и $b_2 = 1,5$.

Прямые параллельны и не совпадают.

Ответ: решений нет.

$4y + 2x = 6$

Рассмотрим систему:

$\begin{cases} y = 0,5x - 3 \\ 4y + 2x = 6 \end{cases}$

Преобразуем второе уравнение:

$4y = -2x + 6 \implies y = -\frac{2}{4}x + \frac{6}{4} \implies y = -0,5x + 1,5$

Сравниваем параметры двух прямых: $y = 0,5x - 3$ и $y = -0,5x + 1,5$.

Угловые коэффициенты различны: $k_1 = 0,5$ и $k_2 = -0,5$.

Поскольку угловые коэффициенты различны, прямые пересекаются в одной точке.

Ответ: одно решение.

$2y - x + 6 = 0$

Рассмотрим систему:

$\begin{cases} y = 0,5x - 3 \\ 2y - x + 6 = 0 \end{cases}$

Преобразуем второе уравнение:

$2y = x - 6 \implies y = \frac{1}{2}x - 3 \implies y = 0,5x - 3$

Второе уравнение после преобразования полностью совпадает с первым. Угловые коэффициенты и свободные члены равны: $k_1 = k_2 = 0,5$ и $b_1 = b_2 = -3$.

Поскольку уравнения описывают одну и ту же прямую, их графики совпадают.

Ответ: бесконечное множество решений.