Номер 4.59, страница 184 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.4. Системы уравнений. Решение систем способом сложения. Глава 4. Системы уравнений - номер 4.59, страница 184.

Условие.

4.59 АНАЛИЗИРУЕМ И РАССУЖДАЕМ Объясните, почему данная система не имеет решений или имеет бесчисленное множество решений (в этом случае приведите примеры решений системы):

a) $ \begin{cases} x + y = 3 \\ x + y = 1 \end{cases} $б) $ \begin{cases} x - 2y = 4 \\ x - 2y = 0 \end{cases} $в) $ \begin{cases} y - x = 5 \\ 2y - 2x = 10 \end{cases} $г) $ \begin{cases} 3x + y = 1 \\ 6x + 2y = 12 \end{cases} $д) $ \begin{cases} x - 3y = 6 \\ 3x - 9y = -9 \end{cases} $е) $ \begin{cases} 4x + 2y = 2 \\ x + 0,5y = 0,5 \end{cases} $

В каждом случае проиллюстрируйте ваш вывод графически.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Данная система уравнений: $ \begin{cases} x + y = 3 \\ x + y = 1 \end{cases} $
Система не имеет решений, так как левые части уравнений идентичны ($x+y$), а правые части различны (3 и 1). Это приводит к противоречию: выражение $x+y$ не может одновременно равняться 3 и 1.
Формально, для системы вида $ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $ условием отсутствия решений является равенство отношений коэффициентов при переменных и неравенство отношения свободных членов: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$.
В нашем случае: $a_1=1, b_1=1, c_1=3$ и $a_2=1, b_2=1, c_2=1$.
Проверяем: $\frac{1}{1} = \frac{1}{1} \neq \frac{3}{1}$. Условие выполняется, следовательно, система решений не имеет.

Графическая иллюстрация:
Каждое уравнение задает прямую на координатной плоскости. Выразим $y$ через $x$:
1. $y = -x + 3$ (синяя линия)
2. $y = -x + 1$ (красная линия)
Обе прямые имеют одинаковый угловой коэффициент $k=-1$, что означает, что они параллельны. Так как свободные члены различны (3 и 1), прямые не совпадают. Параллельные прямые не пересекаются, поэтому система не имеет решений.

Ответ: Система не имеет решений, так как уравнения противоречат друг другу. Графически это две параллельные прямые.

б) Данная система уравнений: $ \begin{cases} x - 2y = 4 \\ x - 2y = 0 \end{cases} $
Система не имеет решений по той же причине, что и в пункте а). Левые части уравнений ($x-2y$) одинаковы, а правые (4 и 0) — нет. Это невозможно.
Проверка по коэффициентам: $a_1=1, b_1=-2, c_1=4$ и $a_2=1, b_2=-2, c_2=0$.
$\frac{1}{1} = \frac{-2}{-2} \neq \frac{4}{0}$ (отношение $\frac{4}{0}$ не определено, но главное, что оно не равно 1). Система не имеет решений.

Графическая иллюстрация:
Выразим $y$ через $x$:
1. $x - 2y = 4 \implies 2y = x - 4 \implies y = 0.5x - 2$ (синяя линия)
2. $x - 2y = 0 \implies 2y = x \implies y = 0.5x$ (красная линия)
Угловые коэффициенты прямых одинаковы ($k=0.5$), а свободные члены различны (-2 и 0). Следовательно, прямые параллельны и не пересекаются.

Ответ: Система не имеет решений, так как уравнения противоречат друг другу. Графически это две параллельные прямые.

в) Данная система уравнений: $ \begin{cases} y - x = 5 \\ 2y - 2x = 10 \end{cases} $
Эта система имеет бесчисленное множество решений. Если второе уравнение, $2y - 2x = 10$, разделить на 2, мы получим $y - x = 5$, что в точности совпадает с первым уравнением. Это означает, что оба уравнения описывают одну и ту же зависимость между $x$ и $y$.
Формально, для системы условием бесконечного числа решений является $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$.
Перепишем систему в стандартном виде: $\begin{cases} -x + y = 5 \\ -2x + 2y = 10 \end{cases}$.
Коэффициенты: $a_1=-1, b_1=1, c_1=5$ и $a_2=-2, b_2=2, c_2=10$.
Проверяем: $\frac{-1}{-2} = \frac{1}{2} = \frac{5}{10}$. Все отношения равны 0.5. Условие выполняется.

Примеры решений:
Любая пара $(x, y)$, удовлетворяющая уравнению $y - x = 5$ (или $y = x+5$), является решением.
- Если $x=0$, то $y=5$. Решение: (0, 5).
- Если $x=1$, то $y=6$. Решение: (1, 6).
- Если $x=-5$, то $y=0$. Решение: (-5, 0).

Графическая иллюстрация:
Оба уравнения приводятся к виду $y = x+5$. На графике это одна и та же прямая линия. Все точки этой прямой являются решениями системы.

Ответ: Система имеет бесчисленное множество решений, так как оба уравнения эквивалентны. Примеры решений: (0, 5), (1, 6). Графически это одна прямая.

г) Данная система уравнений: $ \begin{cases} 3x + y = 1 \\ 6x + 2y = 12 \end{cases} $
Система не имеет решений. Если умножить первое уравнение на 2, получим $6x + 2y = 2$. Это уравнение противоречит второму уравнению системы, $6x + 2y = 12$, так как одно и то же выражение не может быть равно одновременно 2 и 12.
Проверка по коэффициентам: $a_1=3, b_1=1, c_1=1$ и $a_2=6, b_2=2, c_2=12$.
$\frac{3}{6} = \frac{1}{2} \neq \frac{1}{12}$. Так как $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$, система не имеет решений.

Графическая иллюстрация:
Выразим $y$ через $x$:
1. $y = -3x + 1$ (синяя линия)
2. $2y = -6x + 12 \implies y = -3x + 6$ (красная линия)
Угловые коэффициенты равны ($k=-3$), а свободные члены различны (1 и 6), поэтому прямые параллельны и не пересекаются.

Ответ: Система не имеет решений, так как уравнения противоречат друг другу. Графически это две параллельные прямые.

д) Данная система уравнений: $ \begin{cases} x - 3y = 6 \\ 3x - 9y = -9 \end{cases} $
Система не имеет решений. Умножим первое уравнение на 3: $3(x-3y) = 3 \cdot 6$, что дает $3x - 9y = 18$. Это противоречит второму уравнению, $3x-9y = -9$.
Проверка по коэффициентам: $a_1=1, b_1=-3, c_1=6$ и $a_2=3, b_2=-9, c_2=-9$.
$\frac{1}{3} = \frac{-3}{-9} \neq \frac{6}{-9}$. Так как $\frac{1}{3} = \frac{1}{3} \neq -\frac{2}{3}$, система решений не имеет.

Графическая иллюстрация:
Выразим $y$ через $x$:
1. $x - 3y = 6 \implies 3y = x - 6 \implies y = \frac{1}{3}x - 2$ (синяя линия)
2. $3x - 9y = -9 \implies 9y = 3x + 9 \implies y = \frac{1}{3}x + 1$ (красная линия)
Угловые коэффициенты равны ($k=1/3$), а свободные члены различны (-2 и 1), поэтому прямые параллельны и не пересекаются.

Ответ: Система не имеет решений, так как уравнения противоречат друг другу. Графически это две параллельные прямые.

е) Данная система уравнений: $ \begin{cases} 4x + 2y = 2 \\ x + 0.5y = 0.5 \end{cases} $
Эта система имеет бесчисленное множество решений. Упростим первое уравнение, разделив его на 2: $2x + y = 1$. Умножим второе уравнение на 2: $2x + y = 1$. Оба уравнения идентичны.
Проверка по коэффициентам: $a_1=4, b_1=2, c_1=2$ и $a_2=1, b_2=0.5, c_2=0.5$.
$\frac{4}{1} = \frac{2}{0.5} = \frac{2}{0.5}$. Так как $4 = 4 = 4$, условие $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ выполняется.

Примеры решений:
Любая пара $(x, y)$, удовлетворяющая уравнению $2x + y = 1$ (или $y = -2x+1$), является решением.
- Если $x=0$, то $y=1$. Решение: (0, 1).
- Если $x=1$, то $y=-1$. Решение: (1, -1).
- Если $x=0.5$, то $y=0$. Решение: (0.5, 0).

Графическая иллюстрация:
Оба уравнения представляют одну и ту же прямую $y = -2x + 1$. Все точки этой прямой являются решениями.

Ответ: Система имеет бесчисленное множество решений, так как оба уравнения эквивалентны. Примеры решений: (0, 1), (1, -1). Графически это одна прямая.