Номер 4.54, страница 183 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.4. Системы уравнений. Решение систем способом сложения. Глава 4. Системы уравнений - номер 4.54, страница 183.

Условие.

4.54 На рисунке 4.32 изображены прямые, проходящие через точку (2; 4). Какие системы двух уравнений с двумя переменными, имеющие решением пару чисел (2; 4), можно составить по этому рисунку? Запишите их все.

На рисунке изображены следующие прямые:

• $x - y = -2$
• $x + y = 6$
• $2x - y = 0$
• $6x - y = 8$

Рис. 4.32

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решением системы двух линейных уравнений с двумя переменными является пара чисел, соответствующая координатам точки пересечения графиков этих уравнений.

На рисунке изображены четыре прямые, которые являются графиками четырех линейных уравнений. Все эти прямые пересекаются в одной точке с координатами $(2; 4)$. Это означает, что пара чисел $(x=2, y=4)$ является решением для каждого из этих четырех уравнений. Мы можем это проверить:

• Для уравнения $x - y = -2$: подставляем $x=2$ и $y=4$, получаем $2 - 4 = -2$. Равенство верное.
• Для уравнения $x + y = 6$: подставляем $x=2$ и $y=4$, получаем $2 + 4 = 6$. Равенство верное.
• Для уравнения $2x - y = 0$: подставляем $x=2$ и $y=4$, получаем $2 \cdot 2 - 4 = 4 - 4 = 0$. Равенство верное.
• Для уравнения $6x - y = 8$: подставляем $x=2$ и $y=4$, получаем $6 \cdot 2 - 4 = 12 - 4 = 8$. Равенство верное.

Систему уравнений, имеющую решением пару чисел $(2; 4)$, можно составить, выбрав любые два из этих четырех уравнений. Поскольку графики любых двух выбранных прямых пересекаются в точке $(2; 4)$, эта точка и будет единственным решением соответствующей системы.

Таким образом, задача сводится к нахождению всех возможных пар уравнений из четырех данных. Это комбинаторная задача на нахождение числа сочетаний из 4 элементов по 2. Число таких сочетаний (систем) вычисляется по формуле: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае общее количество уравнений $n=4$, а количество уравнений в одной системе $k=2$:
$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1)(2 \cdot 1)} = \frac{24}{4} = 6$.

Следовательно, можно составить 6 различных систем уравнений, решением которых будет пара чисел $(2; 4)$.

Ответ:
Все возможные системы уравнений, которые можно составить по данному рисунку и которые имеют решением пару чисел $(2; 4)$, перечислены ниже:

1. $\begin{cases} x - y = -2 \\ x + y = 6 \end{cases}$

2. $\begin{cases} x - y = -2 \\ 2x - y = 0 \end{cases}$

3. $\begin{cases} x - y = -2 \\ 6x - y = 8 \end{cases}$

4. $\begin{cases} x + y = 6 \\ 2x - y = 0 \end{cases}$

5. $\begin{cases} x + y = 6 \\ 6x - y = 8 \end{cases}$

6. $\begin{cases} 2x - y = 0 \\ 6x - y = 8 \end{cases}$