Номер 2, страница 182 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.4. Системы уравнений. Решение систем способом сложения. Вопросы к параграфу. Глава 4. Системы уравнений - номер 2, страница 182.

Условие.

Какие вы можете предложить способы решения задачи: «Определите координаты точки пересечения прямых $x + 2y = 8$ и $x - y = 4$»?

Решите задачу каждым из них. Одинаковы ли полученные результаты?

Решение 3.

Решение 4.

Для определения координат точки пересечения прямых, заданных уравнениями, необходимо решить систему этих уравнений. Это можно сделать несколькими способами: графическим и аналитическими (способ подстановки, способ сложения).

Графический способ

Этот способ заключается в построении графиков обеих прямых в одной системе координат. Координаты точки их пересечения и будут решением задачи.

1. Построим график прямой $x + 2y = 8$. Для этого преобразуем уравнение к виду $y = kx + b$:
$2y = 8 - x$
$y = 4 - 0.5x$
Это линейная функция. Для построения её графика (прямой) достаточно двух точек. Найдем их:
- при $x = 0$, $y = 4 - 0.5 \cdot 0 = 4$. Получаем точку $(0, 4)$.
- при $y = 0$, $0 = 4 - 0.5x$, откуда $0.5x = 4$ и $x = 8$. Получаем точку $(8, 0)$.

2. Построим график прямой $x - y = 4$. Преобразуем уравнение:
$-y = 4 - x$
$y = x - 4$
Это также линейная функция. Найдем две точки для построения:
- при $x = 0$, $y = 0 - 4 = -4$. Получаем точку $(0, -4)$.
- при $y = 0$, $0 = x - 4$, откуда $x = 4$. Получаем точку $(4, 0)$.

3. Построив обе прямые на координатной плоскости по найденным точкам, мы увидим, что они пересекаются. Точка пересечения является решением. Графически можно определить, что ее координаты приблизительно равны $(5.3, 1.3)$. Однако этот метод не всегда позволяет найти точное решение, особенно если координаты не являются целыми числами, и он сильно зависит от аккуратности построения.

Ответ: $(\frac{16}{3}, \frac{4}{3})$ (точное значение, полученное аналитически).

Способ подстановки

Этот аналитический метод заключается в том, чтобы из одного уравнения выразить одну переменную через другую и подставить полученное выражение в другое уравнение системы.
Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x + 2y = 8 \\ x - y = 4 \end{cases} $$

1. Из второго уравнения ($x - y = 4$) удобнее всего выразить переменную $x$:
$x = y + 4$

2. Подставим полученное выражение для $x$ в первое уравнение ($x + 2y = 8$):
$(y + 4) + 2y = 8$

3. Решим полученное уравнение с одной переменной $y$:
$3y + 4 = 8$
$3y = 8 - 4$
$3y = 4$
$y = \frac{4}{3}$

4. Теперь, зная $y$, найдем $x$, подставив его значение в выражение из шага 1:
$x = \frac{4}{3} + 4 = \frac{4}{3} + \frac{12}{3} = \frac{16}{3}$

Таким образом, координаты точки пересечения: $(\frac{16}{3}, \frac{4}{3})$.

Ответ: $(\frac{16}{3}, \frac{4}{3})$.

Способ сложения

Этот аналитический метод заключается в алгебраическом сложении или вычитании уравнений системы с целью исключить одну из переменных.
Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x + 2y = 8 & (1) \\ x - y = 4 & (2) \end{cases} $$

1. Коэффициенты при переменной $x$ в обоих уравнениях одинаковы (равны 1). Вычтем из уравнения (1) уравнение (2), чтобы избавиться от переменной $x$:
$(x + 2y) - (x - y) = 8 - 4$
$x + 2y - x + y = 4$
$3y = 4$
$y = \frac{4}{3}$

2. Подставим найденное значение $y$ в любое из исходных уравнений, например, во второе ($x - y = 4$):
$x - \frac{4}{3} = 4$
$x = 4 + \frac{4}{3}$
$x = \frac{12}{3} + \frac{4}{3} = \frac{16}{3}$

Координаты точки пересечения: $(\frac{16}{3}, \frac{4}{3})$.

Ответ: $(\frac{16}{3}, \frac{4}{3})$.

Одинаковы ли полученные результаты?

Да, все три способа решения приводят к одному и тому же результату. Координаты точки пересечения прямых $x + 2y = 8$ и $x - y = 4$ равны $(\frac{16}{3}, \frac{4}{3})$.
Стоит отметить, что аналитические способы (подстановки и сложения) всегда дают точный результат. Графический способ очень нагляден, но его точность ограничена, и он особенно полезен для визуализации задачи и приблизительной оценки решения.