Номер 1, страница 182 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.4. Системы уравнений. Решение систем способом сложения. Вопросы к параграфу. Глава 4. Системы уравнений - номер 1, страница 182.

Условие.

a) Убедитесь, что пара (6; -8) является решением системы уравнений $\begin{cases} x+y=-2 \\ x-2y=22. \end{cases}$

Дайте геометрическое истолкование этого факта, используя термин «точка пересечения прямых».

б) Убедитесь, что точка (3; 0) принадлежит каждой из прямых $2x - 3y = 6$ и $3x - 2y = 9$. Дайте алгебраическое истолкование этого факта, используя термин «решение системы».

французский философ и математик, физик и физиолог

Решение 3.

Решение 4.

а)

Чтобы убедиться, что пара (6; –8) является решением системы уравнений, необходимо подставить значения $x = 6$ и $y = -8$ в каждое из уравнений системы и проверить, выполняются ли равенства.

Система уравнений:
$ \begin{cases} x + y = -2 \\ x - 2y = 22 \end{cases} $

Подставляем значения в первое уравнение:
$6 + (-8) = -2$
$-2 = -2$
Равенство верное.

Подставляем значения во второе уравнение:
$6 - 2 \cdot (-8) = 22$
$6 + 16 = 22$
$22 = 22$
Равенство верное.

Поскольку пара чисел (6; –8) обращает в верное равенство каждое уравнение системы, она является решением этой системы.

Геометрическое истолкование этого факта заключается в следующем: каждое линейное уравнение с двумя переменными на координатной плоскости представляет собой прямую. Решение системы — это точка, которая принадлежит обеим прямым. Таким образом, то, что пара (6; –8) является решением системы, означает, что точка пересечения прямых $x + y = -2$ и $x - 2y = 22$ имеет координаты (6; –8).

Ответ: Пара (6; –8) является решением системы, так как при подстановке $x=6$ и $y=-8$ в оба уравнения получаются верные равенства. Геометрически это означает, что точка с координатами (6; –8) является точкой пересечения прямых $x+y=-2$ и $x-2y=22$.

б)

Чтобы убедиться, что точка (3; 0) принадлежит каждой из прямых $2x - 3y = 6$ и $3x - 2y = 9$, нужно подставить координаты этой точки ($x=3$, $y=0$) в уравнение каждой прямой.

Проверка для прямой $2x - 3y = 6$:
$2 \cdot 3 - 3 \cdot 0 = 6$
$6 - 0 = 6$
$6 = 6$
Равенство верное, следовательно, точка (3; 0) принадлежит прямой $2x - 3y = 6$.

Проверка для прямой $3x - 2y = 9$:
$3 \cdot 3 - 2 \cdot 0 = 9$
$9 - 0 = 9$
$9 = 9$
Равенство верное, следовательно, точка (3; 0) принадлежит прямой $3x - 2y = 9$.

Алгебраическое истолкование этого факта: поскольку координаты точки (3; 0) удовлетворяют обоим уравнениям, это означает, что пара чисел (3; 0) является решением системы, образованной уравнениями этих двух прямых:
$ \begin{cases} 2x - 3y = 6 \\ 3x - 2y = 9 \end{cases} $

Ответ: Точка (3; 0) принадлежит каждой из прямых, так как ее координаты удовлетворяют обоим уравнениям. Алгебраически это означает, что пара чисел (3; 0) является решением системы уравнений, состоящей из уравнений этих двух прямых.