Номер 4.46, страница 178 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.3. Уравнение прямой вида у = kx + l. Глава 4. Системы уравнений - номер 4.46, страница 178.

Условие.

4.46 Определите, пересекаются ли данные прямые; если пересекаются, то постройте эти прямые и найдите координаты точки пересечения; проверьте результат, подставив найденные координаты в уравнения:

Рис. 4.2

а) $y = 2x - 5$ и $y = 2x + 5$;

б) $y = -x + 1$ и $y = 3x + 9$;

в) $y = -\frac{1}{2}x + 3$ и $y = x - 3$;

г) $y = -\frac{1}{3}x + 1$ и $y = -\frac{1}{3}x + 3$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $y = 2x - 5$ и $y = 2x + 5$

Чтобы определить, пересекаются ли прямые, сравним их угловые коэффициенты (коэффициенты при $x$). Уравнение прямой имеет вид $y = kx + b$, где $k$ - угловой коэффициент. Для первой прямой $y = 2x - 5$ угловой коэффициент $k_1 = 2$. Для второй прямой $y = 2x + 5$ угловой коэффициент $k_2 = 2$. Свободные члены равны $b_1 = -5$ и $b_2 = 5$. Так как угловые коэффициенты равны ($k_1 = k_2$), а свободные члены не равны ($b_1 \neq b_2$), прямые параллельны и не пересекаются.

Ответ: Прямые не пересекаются.

б) $y = -x + 1$ и $y = 3x + 9$

Сравним угловые коэффициенты. Для прямой $y = -x + 1$ коэффициент $k_1 = -1$. Для прямой $y = 3x + 9$ коэффициент $k_2 = 3$. Так как угловые коэффициенты не равны ($k_1 \neq k_2$), прямые пересекаются.

Найдем координаты точки пересечения. В этой точке значения $y$ и $x$ для обеих прямых совпадают, поэтому мы можем приравнять правые части уравнений:
$-x + 1 = 3x + 9$
$1 - 9 = 3x + x$
$-8 = 4x$
$x = \frac{-8}{4} = -2$

Теперь подставим найденное значение $x = -2$ в любое из исходных уравнений, чтобы найти $y$. Используем первое уравнение:
$y = -(-2) + 1 = 2 + 1 = 3$
Таким образом, координаты точки пересечения: $(-2, 3)$.

Для построения прямых найдем по две точки для каждой.
Для прямой $y = -x + 1$:
- если $x = 0$, то $y = -0 + 1 = 1$. Точка $(0, 1)$.
- если $x = 1$, то $y = -1 + 1 = 0$. Точка $(1, 0)$.
Для прямой $y = 3x + 9$:
- если $x = 0$, то $y = 3 \cdot 0 + 9 = 9$. Точка $(0, 9)$.
- если $x = -1$, то $y = 3 \cdot (-1) + 9 = 6$. Точка $(-1, 6)$.
Построив прямые на координатной плоскости, мы увидим, что они пересекаются в точке $(-2, 3)$.

Проверим результат. Подставим координаты точки $(-2, 3)$ в оба уравнения:
1) $y = -x + 1 \Rightarrow 3 = -(-2) + 1 \Rightarrow 3 = 2 + 1 \Rightarrow 3 = 3$ (верно).
2) $y = 3x + 9 \Rightarrow 3 = 3(-2) + 9 \Rightarrow 3 = -6 + 9 \Rightarrow 3 = 3$ (верно).

Ответ: Прямые пересекаются в точке $(-2, 3)$.

в) $y = -\frac{1}{2}x + 3$ и $y = x - 3$

Сравним угловые коэффициенты: $k_1 = -\frac{1}{2}$ и $k_2 = 1$. Так как $k_1 \neq k_2$, прямые пересекаются.

Найдем координаты точки пересечения, приравняв правые части уравнений:
$-\frac{1}{2}x + 3 = x - 3$
$3 + 3 = x + \frac{1}{2}x$
$6 = \frac{3}{2}x$
$x = 6 \cdot \frac{2}{3} = 4$

Подставим $x = 4$ во второе уравнение $y = x - 3$:
$y = 4 - 3 = 1$
Координаты точки пересечения: $(4, 1)$.

Для построения прямых найдем по две точки для каждой.
Для прямой $y = -\frac{1}{2}x + 3$:
- если $x = 0$, то $y = 3$. Точка $(0, 3)$.
- если $x = 2$, то $y = -\frac{1}{2}(2) + 3 = 2$. Точка $(2, 2)$.
Для прямой $y = x - 3$:
- если $x = 0$, то $y = -3$. Точка $(0, -3)$.
- если $x = 3$, то $y = 0$. Точка $(3, 0)$.
Построив прямые, можно убедиться, что они пересекаются в точке $(4, 1)$.

Проверим результат, подставив координаты $(4, 1)$ в оба уравнения:
1) $y = -\frac{1}{2}x + 3 \Rightarrow 1 = -\frac{1}{2}(4) + 3 \Rightarrow 1 = -2 + 3 \Rightarrow 1 = 1$ (верно).
2) $y = x - 3 \Rightarrow 1 = 4 - 3 \Rightarrow 1 = 1$ (верно).

Ответ: Прямые пересекаются в точке $(4, 1)$.

г) $y = -\frac{1}{3}x + 1$ и $y = -\frac{1}{3}x + 3$

Сравним угловые коэффициенты и свободные члены. Для первой прямой $k_1 = -\frac{1}{3}$ и $b_1 = 1$. Для второй прямой $k_2 = -\frac{1}{3}$ и $b_2 = 3$. Так как угловые коэффициенты равны ($k_1 = k_2$), а свободные члены не равны ($b_1 \neq b_2$), прямые параллельны и не пересекаются.

Ответ: Прямые не пересекаются.