Номер 4.52, страница 179 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.3. Уравнение прямой вида у = kx + l. Глава 4. Системы уравнений - номер 4.52, страница 179.

Условие.

4.52 Постройте график уравнения:

а) $|x| + |y| = 1;$

б) $|x| - |y| = 1.$

Указание. Рассмотрите график уравнения отдельно в каждой координатной четверти.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы построить график уравнения $|x| + |y| = 1$, рассмотрим его в каждой из четырех координатных четвертей, раскрывая модули в зависимости от знаков переменных $x$ и $y$.

1. Первая четверть: $x \ge 0$, $y \ge 0$.
В этом случае $|x| = x$ и $|y| = y$. Уравнение принимает вид $x + y = 1$, или $y = 1 - x$. Это уравнение прямой. В пределах первой четверти это будет отрезок, соединяющий точки на осях. При $x=0$ получаем $y=1$ (точка $(0, 1)$). При $y=0$ получаем $x=1$ (точка $(1, 0)$). Таким образом, в первой четверти график — это отрезок прямой, соединяющий точки $(1, 0)$ и $(0, 1)$.

2. Вторая четверть: $x \le 0$, $y \ge 0$.
В этом случае $|x| = -x$ и $|y| = y$. Уравнение принимает вид $-x + y = 1$, или $y = x + 1$. В пределах второй четверти это отрезок, соединяющий точку $(0, 1)$ на оси OY с точкой $(-1, 0)$ на оси OX (при $y=0$ имеем $-x=1$, то есть $x=-1$).

3. Третья четверть: $x \le 0$, $y \le 0$.
В этом случае $|x| = -x$ и $|y| = -y$. Уравнение принимает вид $-x - y = 1$, или $y = -x - 1$. В пределах третьей четверти это отрезок, соединяющий точку $(-1, 0)$ на оси OX с точкой $(0, -1)$ на оси OY (при $x=0$ имеем $y=-1$).

4. Четвертая четверть: $x \ge 0$, $y \le 0$.
В этом случае $|x| = x$ и $|y| = -y$. Уравнение принимает вид $x - y = 1$, или $y = x - 1$. В пределах четвертой четверти это отрезок, соединяющий точку $(1, 0)$ на оси OX с точкой $(0, -1)$ на оси OY.

Объединив все четыре отрезка, мы получаем замкнутую фигуру — квадрат, вершины которого находятся в точках $(1, 0)$, $(0, 1)$, $(-1, 0)$ и $(0, -1)$.

Ответ: Графиком уравнения является квадрат с вершинами в точках $(1, 0)$, $(0, 1)$, $(-1, 0)$ и $(0, -1)$.

б) Чтобы построить график уравнения $|x| - |y| = 1$, также рассмотрим его в каждой координатной четверти.

1. Первая четверть: $x \ge 0$, $y \ge 0$.
Уравнение принимает вид $x - y = 1$, или $y = x - 1$. Поскольку в этой четверти $y \ge 0$, то должно выполняться условие $x - 1 \ge 0$, что означает $x \ge 1$. Графиком является луч, выходящий из точки $(1, 0)$ и идущий вправо-вверх (например, через точку $(2, 1)$).

2. Вторая четверть: $x \le 0$, $y \ge 0$.
Уравнение принимает вид $-x - y = 1$, или $y = -x - 1$. Поскольку $y \ge 0$, то $-x - 1 \ge 0$, что означает $-x \ge 1$ или $x \le -1$. Графиком является луч, выходящий из точки $(-1, 0)$ и идущий влево-вверх (например, через точку $(-2, 1)$).

3. Третья четверть: $x \le 0$, $y \le 0$.
Уравнение принимает вид $-x - (-y) = 1$, что равносильно уравнению $-x + y = 1$, или $y = x + 1$. Поскольку $y \le 0$, то $x + 1 \le 0$, что означает $x \le -1$. Графиком является луч, выходящий из точки $(-1, 0)$ и идущий влево-вниз (например, через точку $(-2, -1)$).

4. Четвертая четверть: $x \ge 0$, $y \le 0$.
Уравнение принимает вид $x - (-y) = 1$, что равносильно уравнению $x + y = 1$, или $y = 1 - x$. Поскольку $y \le 0$, то $1 - x \le 0$, что означает $x \ge 1$. Графиком является луч, выходящий из точки $(1, 0)$ и идущий вправо-вниз (например, через точку $(2, -1)$).

Итоговый график состоит из четырех лучей, которые образуют две фигуры, похожие на знаки ">" и "<", с вершинами в точках $(1, 0)$ и $(-1, 0)$ соответственно. График симметричен относительно обеих координатных осей.

Ответ: График уравнения представляет собой объединение четырех лучей:
- луча $y = x - 1$ для $x \ge 1$;
- луча $y = 1 - x$ для $x \ge 1$;
- луча $y = -x - 1$ для $x \le -1$;
- луча $y = x + 1$ для $x \le -1$.