Номер 3, страница 182 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.4. Системы уравнений. Решение систем способом сложения. Вопросы к параграфу. Глава 4. Системы уравнений - номер 3, страница 182.

Условие.

Сколько решений может иметь система двух линейных уравнений с двумя переменными (фрагмент 2)? Найдите в учебном пособии соответствующие примеры.

Решение 3.

Решение 4.

Система двух линейных уравнений с двумя переменными вида$\begin{cases}a_1x + b_1y = c_1 \\a_2x + b_2y = c_2\end{cases}$может иметь одно решение, не иметь решений или иметь бесконечно много решений. Это зависит от взаимного расположения графиков этих уравнений, которые представляют собой прямые линии на плоскости.

Система имеет одно решение

Геометрически это означает, что прямые, являющиеся графиками уравнений, пересекаются в одной точке. Координаты этой точки и являются единственным решением системы.

Алгебраически это условие выполняется, когда коэффициенты при соответствующих переменных не пропорциональны:

$\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$

Пример:

$\begin{cases}2x + y = 5 \\x - 3y = -1\end{cases}$

Здесь $\frac{2}{1} \neq \frac{1}{-3}$.

Решение:

Выразим $y$ из первого уравнения: $y = 5 - 2x$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$x - 3(5 - 2x) = -1$

$x - 15 + 6x = -1$

$7x = 14$

$x = 2$

Теперь найдем $y$: $y = 5 - 2 \cdot 2 = 1$.

Система имеет единственное решение: $(2; 1)$.

Ответ: система имеет одно решение, когда графики уравнений (прямые) пересекаются в одной точке. Это происходит, если коэффициенты при переменных не пропорциональны: $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$.

Система не имеет решений

Геометрически это означает, что прямые параллельны и не совпадают. Так как у них нет общих точек, у системы нет решений.

Алгебраически это условие выполняется, когда коэффициенты при переменных пропорциональны, но это отношение не равно отношению свободных членов:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$

Пример:

$\begin{cases}2x - y = 4 \\6x - 3y = 3\end{cases}$

Здесь $\frac{2}{6} = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3}$, но $\frac{4}{3} \neq \frac{1}{3}$.

Решение:

Умножим первое уравнение на 3:

$3(2x - y) = 3 \cdot 4 \Rightarrow 6x - 3y = 12$.

Теперь система выглядит так:

$\begin{cases}6x - 3y = 12 \\6x - 3y = 3\end{cases}$

Если вычесть из первого уравнения второе, получим: $(6x - 3y) - (6x - 3y) = 12 - 3$, что приводит к неверному равенству $0 = 9$. Это означает, что система несовместна и не имеет решений.

Ответ: система не имеет решений, когда графики уравнений (прямые) параллельны и не совпадают. Это происходит, если коэффициенты при переменных пропорциональны, но эти отношения не равны отношению свободных членов: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$.

Система имеет бесконечно много решений

Геометрически это означает, что прямые совпадают. Каждая точка этой прямой является решением системы, а таких точек бесконечно много.

Алгебраически это условие выполняется, когда коэффициенты при переменных и свободные члены пропорциональны:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$

Пример:

$\begin{cases}x + 3y = 2 \\2x + 6y = 4\end{cases}$

Здесь $\frac{1}{2} = \frac{3}{6} = \frac{2}{4}$. Все отношения равны $0.5$.

Решение:

Разделим второе уравнение на 2:

$\frac{2x + 6y}{2} = \frac{4}{2} \Rightarrow x + 3y = 2$.

Оба уравнения в системе стали одинаковыми: $x + 3y = 2$. Это означает, что любое решение первого уравнения является и решением второго. Можно выразить одну переменную через другую, например, $x = 2 - 3y$. Подставляя любое значение $y$, мы будем получать соответствующее значение $x$. Например, пары $(2; 0)$, $(-1; 1)$, $(5; -1)$ и так далее являются решениями системы. Количество таких решений бесконечно.

Ответ: система имеет бесконечно много решений, когда графики уравнений (прямые) совпадают. Это происходит, если все коэффициенты одного уравнения пропорциональны соответствующим коэффициентам другого: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$.