Номер 4.57, страница 184 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.4. Системы уравнений. Решение систем способом сложения. Глава 4. Системы уравнений - номер 4.57, страница 184.

Условие.

4.57 а) $\begin{cases} 3a + 5b = 4 \\ 2a - 3b = 9; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 2x + 3z = 6 \\ 3x + 5z = 8; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 6u - 7v = 6 \\ 7u - 8v = 15; \end{cases}$

г) $\begin{cases} 2m + 5n = 12 \\ 4m + 3n = 10; \end{cases}$

д) $\begin{cases} 4y - 2z = 10 \\ 3y + 5z = 1; \end{cases}$

е) $\begin{cases} 8x - 3y = 22 \\ 3x + 4y = -2. \end{cases}$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 3a + 5b = 4 \\ 2a - 3b = 9 \end{cases} $

Для решения системы используем метод алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 2, а второе на -3, чтобы коэффициенты при переменной a стали противоположными числами.

$ \begin{cases} (3a + 5b) \cdot 2 = 4 \cdot 2 \\ (2a - 3b) \cdot (-3) = 9 \cdot (-3) \end{cases} \implies \begin{cases} 6a + 10b = 8 \\ -6a + 9b = -27 \end{cases} $

Теперь сложим почленно два уравнения системы:

$(6a + 10b) + (-6a + 9b) = 8 + (-27)$

$19b = -19$

$b = -1$

Подставим найденное значение $b = -1$ в первое уравнение исходной системы, чтобы найти a:

$3a + 5(-1) = 4$

$3a - 5 = 4$

$3a = 9$

$a = 3$

Проверим решение, подставив значения в оба исходных уравнения:
$3(3) + 5(-1) = 9 - 5 = 4$
$2(3) - 3(-1) = 6 + 3 = 9$
Решение верное.

Ответ: $a=3, b=-1$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 2x + 3z = 6 \\ 3x + 5z = 8 \end{cases} $

Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 3, а второе на -2, чтобы избавиться от переменной x.

$ \begin{cases} (2x + 3z) \cdot 3 = 6 \cdot 3 \\ (3x + 5z) \cdot (-2) = 8 \cdot (-2) \end{cases} \implies \begin{cases} 6x + 9z = 18 \\ -6x - 10z = -16 \end{cases} $

Сложим полученные уравнения:

$(6x + 9z) + (-6x - 10z) = 18 + (-16)$

$-z = 2$

$z = -2$

Подставим значение $z = -2$ в первое исходное уравнение, чтобы найти x:

$2x + 3(-2) = 6$

$2x - 6 = 6$

$2x = 12$

$x = 6$

Ответ: $x=6, z=-2$.

в)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 6u - 7v = 6 \\ 7u - 8v = 15 \end{cases} $

Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 7, а второе на -6.

$ \begin{cases} (6u - 7v) \cdot 7 = 6 \cdot 7 \\ (7u - 8v) \cdot (-6) = 15 \cdot (-6) \end{cases} \implies \begin{cases} 42u - 49v = 42 \\ -42u + 48v = -90 \end{cases} $

Сложим полученные уравнения:

$(42u - 49v) + (-42u + 48v) = 42 + (-90)$

$-v = -48$

$v = 48$

Подставим $v = 48$ в первое исходное уравнение:

$6u - 7(48) = 6$

$6u - 336 = 6$

$6u = 342$

$u = \frac{342}{6} = 57$

Ответ: $u=57, v=48$.

г)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 2m + 5n = 12 \\ 4m + 3n = 10 \end{cases} $

Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на -2, чтобы коэффициенты при m стали противоположными.

$ \begin{cases} (2m + 5n) \cdot (-2) = 12 \cdot (-2) \\ 4m + 3n = 10 \end{cases} \implies \begin{cases} -4m - 10n = -24 \\ 4m + 3n = 10 \end{cases} $

Сложим уравнения:

$(-4m - 10n) + (4m + 3n) = -24 + 10$

$-7n = -14$

$n = 2$

Подставим $n=2$ в первое исходное уравнение:

$2m + 5(2) = 12$

$2m + 10 = 12$

$2m = 2$

$m = 1$

Ответ: $m=1, n=2$.

д)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 4y - 2z = 10 \\ 3y + 5z = 1 \end{cases} $

Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 5, а второе на 2, чтобы избавиться от переменной z.

$ \begin{cases} (4y - 2z) \cdot 5 = 10 \cdot 5 \\ (3y + 5z) \cdot 2 = 1 \cdot 2 \end{cases} \implies \begin{cases} 20y - 10z = 50 \\ 6y + 10z = 2 \end{cases} $

Сложим полученные уравнения:

$(20y - 10z) + (6y + 10z) = 50 + 2$

$26y = 52$

$y = 2$

Подставим $y=2$ в первое исходное уравнение:

$4(2) - 2z = 10$

$8 - 2z = 10$

$-2z = 2$

$z = -1$

Ответ: $y=2, z=-1$.

е)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 8x - 3y = 22 \\ 3x + 4y = -2 \end{cases} $

Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 4, а второе на 3, чтобы коэффициенты при y стали противоположными.

$ \begin{cases} (8x - 3y) \cdot 4 = 22 \cdot 4 \\ (3x + 4y) \cdot 3 = -2 \cdot 3 \end{cases} \implies \begin{cases} 32x - 12y = 88 \\ 9x + 12y = -6 \end{cases} $

Сложим уравнения:

$(32x - 12y) + (9x + 12y) = 88 - 6$

$41x = 82$

$x = 2$

Подставим $x=2$ во второе исходное уравнение:

$3(2) + 4y = -2$

$6 + 4y = -2$

$4y = -8$

$y = -2$

Ответ: $x=2, y=-2$.