Номер 4.62, страница 185 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.4. Системы уравнений. Решение систем способом сложения. Глава 4. Системы уравнений - номер 4.62, страница 185.

Условие.

Решите систему уравнений (4.62–4.63).

4.62 a) $\begin{cases} \frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 2 \\ \frac{x}{4} + \frac{y}{2} = 5; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \frac{u}{5} + \frac{v}{2} = 2 \\ -\frac{u}{3} + \frac{v}{2} = \frac{2}{3}; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 2p - \frac{q}{2} = 14 \\ \frac{p}{2} + \frac{q}{8} = 7; \end{cases}$

г) $\begin{cases} \frac{3m}{2} + \frac{2n}{3} = 6 \\ \frac{3m}{4} + \frac{n}{3} = 12. \end{cases}$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

a)

Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 2 \\ \frac{x}{4} + \frac{y}{2} = 5 \end{cases} $

Чтобы избавиться от дробей, умножим первое уравнение на 6 (наименьшее общее кратное для 2 и 3), а второе уравнение на 4 (наименьшее общее кратное для 4 и 2).

Первое уравнение:

$ 6 \cdot (\frac{x}{2} - \frac{y}{3}) = 6 \cdot 2 $

$ 3x - 2y = 12 $

Второе уравнение:

$ 4 \cdot (\frac{x}{4} + \frac{y}{2}) = 4 \cdot 5 $

$ x + 2y = 20 $

Получаем новую, эквивалентную систему уравнений:

$ \begin{cases} 3x - 2y = 12 \\ x + 2y = 20 \end{cases} $

Сложим два уравнения, чтобы исключить переменную $y$:

$ (3x - 2y) + (x + 2y) = 12 + 20 $

$ 4x = 32 $

$ x = 8 $

Теперь подставим значение $x = 8$ во второе упрощенное уравнение ($x + 2y = 20$):

$ 8 + 2y = 20 $

$ 2y = 20 - 8 $

$ 2y = 12 $

$ y = 6 $

Ответ: $x=8, y=6$.

б)

Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{u}{5} + \frac{v}{2} = 2 \\ -\frac{u}{3} + \frac{v}{2} = \frac{2}{3} \end{cases} $

Избавимся от дробей. Умножим первое уравнение на 10 (НОК для 5 и 2), а второе на 6 (НОК для 3 и 2).

Первое уравнение:

$ 10 \cdot (\frac{u}{5} + \frac{v}{2}) = 10 \cdot 2 $

$ 2u + 5v = 20 $

Второе уравнение:

$ 6 \cdot (-\frac{u}{3} + \frac{v}{2}) = 6 \cdot \frac{2}{3} $

$ -2u + 3v = 4 $

Получаем новую систему:

$ \begin{cases} 2u + 5v = 20 \\ -2u + 3v = 4 \end{cases} $

Сложим два уравнения для исключения переменной $u$:

$ (2u + 5v) + (-2u + 3v) = 20 + 4 $

$ 8v = 24 $

$ v = 3 $

Подставим значение $v = 3$ в первое упрощенное уравнение ($2u + 5v = 20$):

$ 2u + 5(3) = 20 $

$ 2u + 15 = 20 $

$ 2u = 5 $

$ u = \frac{5}{2} $ или $u = 2.5$

Ответ: $u=2.5, v=3$.

в)

Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} 2p - \frac{q}{2} = 14 \\ \frac{p}{2} + \frac{q}{8} = 7 \end{cases} $

Избавимся от дробей. Умножим первое уравнение на 2, а второе на 8.

Первое уравнение:

$ 2 \cdot (2p - \frac{q}{2}) = 2 \cdot 14 $

$ 4p - q = 28 $

Второе уравнение:

$ 8 \cdot (\frac{p}{2} + \frac{q}{8}) = 8 \cdot 7 $

$ 4p + q = 56 $

Получаем новую систему:

$ \begin{cases} 4p - q = 28 \\ 4p + q = 56 \end{cases} $

Сложим два уравнения для исключения переменной $q$:

$ (4p - q) + (4p + q) = 28 + 56 $

$ 8p = 84 $

$ p = \frac{84}{8} = \frac{21}{2} = 10.5 $

Подставим значение $p = 10.5$ во второе упрощенное уравнение ($4p + q = 56$):

$ 4(10.5) + q = 56 $

$ 42 + q = 56 $

$ q = 14 $

Ответ: $p=10.5, q=14$.

г)

Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{3m}{2} + \frac{2n}{3} = 6 \\ \frac{3m}{4} + \frac{n}{3} = 12 \end{cases} $

Упростим уравнения, избавившись от дробей. Первое уравнение умножим на 6 (НОК для 2 и 3), второе на 12 (НОК для 4 и 3).

Первое уравнение:

$ 6 \cdot (\frac{3m}{2} + \frac{2n}{3}) = 6 \cdot 6 $

$ 3(3m) + 2(2n) = 36 $

$ 9m + 4n = 36 $

Второе уравнение:

$ 12 \cdot (\frac{3m}{4} + \frac{n}{3}) = 12 \cdot 12 $

$ 3(3m) + 4(n) = 144 $

$ 9m + 4n = 144 $

Получаем новую систему:

$ \begin{cases} 9m + 4n = 36 \\ 9m + 4n = 144 \end{cases} $

Левые части уравнений одинаковы, а правые — различны ($36 \neq 144$). Это означает, что система несовместна и не имеет решений. Если мы вычтем первое уравнение из второго, получим неверное равенство:

$ (9m + 4n) - (9m + 4n) = 144 - 36 $

$ 0 = 108 $

Ответ: система не имеет решений.