Номер 1, страница 188 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.5. Решение систем уравнений способом подстановки. Вопросы к параграфу. Глава 4. Системы уравнений - номер 1, страница 188.

Условие.

Какую подстановку вы бы предложили для решения системы:

а) $\begin{cases} 3x + y = 4 \\ 2x - 5y = -3 \end{cases}$

б) $\begin{cases} 10x - 15y = 91 \\ x - 6y = 10 \end{cases}$

в) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 9 \\ x + y = 2 \end{cases}$

г) $\begin{cases} x + y = 1 \\ xy = -12 \end{cases}$

В каждом случае запишите первые два шага решения (фрагмент 1).

Решение 4.

а) Для решения данной системы линейных уравнений методом подстановки удобнее всего выразить переменную $y$ из первого уравнения, так как ее коэффициент равен 1. Это позволяет избежать появления дробей на первом шаге и упрощает вычисления.

Шаг 1: Выражаем $y$ из первого уравнения $3x + y = 4$.
$y = 4 - 3x$

Шаг 2: Подставляем полученное выражение для $y$ во второе уравнение $2x - 5y = -3$.
$2x - 5(4 - 3x) = -3$

Ответ: Предлагаемая подстановка — выразить $y$ из первого уравнения ($y = 4 - 3x$) и подставить во второе. Первые два шага: 1) $y = 4 - 3x$; 2) $2x - 5(4 - 3x) = -3$.

б) В этой системе линейных уравнений наиболее удобной для выражения является переменная $x$ из второго уравнения $x - 6y = 10$, так как ее коэффициент равен 1. Выбор этой переменной для подстановки является наиболее рациональным.

Шаг 1: Выражаем $x$ из второго уравнения.
$x = 10 + 6y$

Шаг 2: Подставляем полученное выражение для $x$ в первое уравнение $10x - 15y = 91$.
$10(10 + 6y) - 15y = 91$

Ответ: Предлагаемая подстановка — выразить $x$ из второго уравнения ($x = 10 + 6y$) и подставить в первое. Первые два шага: 1) $x = 10 + 6y$; 2) $10(10 + 6y) - 15y = 91$.

в) Данная система состоит из одного линейного и одного нелинейного уравнения. Для ее решения методом подстановки следует выразить одну переменную из линейного уравнения ($x + y = 2$) и подставить ее в нелинейное уравнение ($x^2 + y^2 = 9$). Можно выразить как $x$, так и $y$, результат будет одинаково достижим. Выразим, например, $y$.

Шаг 1: Выражаем $y$ из второго уравнения.
$y = 2 - x$

Шаг 2: Подставляем полученное выражение для $y$ в первое уравнение $x^2 + y^2 = 9$.
$x^2 + (2 - x)^2 = 9$

Ответ: Предлагаемая подстановка — выразить $y$ из второго уравнения ($y = 2 - x$) и подставить в первое. Первые два шага: 1) $y = 2 - x$; 2) $x^2 + (2 - x)^2 = 9$.

г) Эта система является симметрической, и для ее решения можно применить теорему Виета, рассматривая $x$ и $y$ как корни квадратного уравнения. Однако метод подстановки здесь также очень прост и эффективен. Из первого уравнения $x + y = 1$ легко выразить одну переменную через другую.

Шаг 1: Выражаем $y$ из первого уравнения.
$y = 1 - x$

Шаг 2: Подставляем полученное выражение для $y$ во второе уравнение $xy = -12$.
$x(1 - x) = -12$

Ответ: Предлагаемая подстановка — выразить $y$ из первого уравнения ($y = 1 - x$) и подставить во второе. Первые два шага: 1) $y = 1 - x$; 2) $x(1 - x) = -12$.