Номер 4.68, страница 189 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.5. Решение систем уравнений способом подстановки. Глава 4. Системы уравнений - номер 4.68, страница 189.

Условие.

4.68 Найдите координаты точек пересечения прямой и окружности, заданных уравнениями, и проиллюстрируйте результат графически:

а) $y = \frac{3}{4} x$ и $x^2 + y^2 = 25;$

б) $x + y = 6$ и $x^2 + y^2 = 20;$

в) $y = -\frac{2}{3} x$ и $x^2 + y^2 = 13;$

г) $x - y = 0$ и $x^2 + y^2 = 16.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $y = \frac{3}{4}x$ и $x^2 + y^2 = 25$

Для нахождения координат точек пересечения решим систему уравнений:

$ \begin{cases} y = \frac{3}{4}x \\ x^2 + y^2 = 25 \end{cases} $

Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:

$x^2 + (\frac{3}{4}x)^2 = 25$

$x^2 + \frac{9}{16}x^2 = 25$

Приведем к общему знаменателю, умножив обе части уравнения на 16:

$16x^2 + 9x^2 = 25 \cdot 16$

$25x^2 = 400$

$x^2 = \frac{400}{25}$

$x^2 = 16$

Отсюда находим два значения для $x$: $x_1 = 4$ и $x_2 = -4$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$, используя уравнение прямой $y = \frac{3}{4}x$:

Если $x_1 = 4$, то $y_1 = \frac{3}{4} \cdot 4 = 3$.

Если $x_2 = -4$, то $y_2 = \frac{3}{4} \cdot (-4) = -3$.

Таким образом, мы получили две точки пересечения: $(4, 3)$ и $(-4, -3)$.

Графически это выглядит как пересечение окружности с центром в начале координат и радиусом $R = \sqrt{25} = 5$ и прямой, проходящей через начало координат.

Ответ: $(4, 3)$, $(-4, -3)$.

б) $x + y = 6$ и $x^2 + y^2 = 20$

Для нахождения координат точек пересечения решим систему уравнений:

$ \begin{cases} x + y = 6 \\ x^2 + y^2 = 20 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $y$: $y = 6 - x$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$x^2 + (6 - x)^2 = 20$

$x^2 + 36 - 12x + x^2 = 20$

Приведем подобные члены:

$2x^2 - 12x + 36 - 20 = 0$

$2x^2 - 12x + 16 = 0$

Разделим уравнение на 2 для упрощения:

$x^2 - 6x + 8 = 0$

Решим квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 6, произведение равно 8. Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$.

Найдем соответствующие значения $y$ из уравнения $y = 6 - x$:

Если $x_1 = 2$, то $y_1 = 6 - 2 = 4$.

Если $x_2 = 4$, то $y_2 = 6 - 4 = 2$.

Следовательно, точки пересечения: $(2, 4)$ и $(4, 2)$.

Графически это пересечение окружности с центром в $(0, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{20} \approx 4.47$ и прямой $y = -x + 6$.