Номер 4.74, страница 190 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.5. Решение систем уравнений способом подстановки. Глава 4. Системы уравнений - номер 4.74, страница 190.

Условие.

4.74 Решите систему уравнений:

a) $\begin{cases} x + y = -2 \\ y + z = 4 \\ z + x = 2; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x + y + z = 0 \\ y + z + u = 5 \\ z + u + x = 6 \\ u + x + y = 1. \end{cases}$

Указание. a) Сложите все уравнения системы и в полученное уравнение подставьте поочерёдно значения $x + y$, $y + z$ и $z + x$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} x + y = -2 \quad (1) \\ y + z = 4 \quad (2) \\ z + x = 2 \quad (3) \end{cases} $$

Следуя указанию, сложим все три уравнения системы:

$(x + y) + (y + z) + (z + x) = -2 + 4 + 2$

Приведя подобные слагаемые в левой части, получаем:

$2x + 2y + 2z = 4$

Разделим обе части уравнения на 2:

$x + y + z = 2 \quad (4)$

Теперь поочередно подставим в полученное уравнение (4) значения из исходных уравнений (1), (2) и (3).

1. Чтобы найти $z$, подставим в уравнение (4) выражение для $x+y$ из уравнения (1):

$(x + y) + z = 2$

$-2 + z = 2$

$z = 2 + 2$

$z = 4$

2. Чтобы найти $x$, подставим в уравнение (4) выражение для $y+z$ из уравнения (2):

$x + (y + z) = 2$

$x + 4 = 2$

$x = 2 - 4$

$x = -2$

3. Чтобы найти $y$, подставим в уравнение (4) выражение для $z+x$ из уравнения (3):

$y + (z + x) = 2$

$y + 2 = 2$

$y = 2 - 2$

$y = 0$

Таким образом, мы нашли решение системы: $x = -2$, $y = 0$, $z = 4$.

Ответ: $x = -2, y = 0, z = 4$.

б) Решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} x + y + z = 0 \quad (1) \\ y + z + u = 5 \quad (2) \\ z + u + x = 6 \quad (3) \\ u + x + y = 1 \quad (4) \end{cases} $$

Используем тот же метод, что и в пункте а). Сложим все четыре уравнения системы:

$(x+y+z) + (y+z+u) + (z+u+x) + (u+x+y) = 0+5+6+1$

В левой части каждая переменная ($x, y, z, u$) встречается трижды. Сгруппируем слагаемые:

$3x + 3y + 3z + 3u = 12$

Разделим обе части уравнения на 3:

$x + y + z + u = 4 \quad (5)$

Теперь будем подставлять в полученное уравнение (5) левые части исходных уравнений.

1. Чтобы найти $u$, подставим в (5) выражение для $x+y+z$ из уравнения (1):

$(x+y+z) + u = 4$

$0 + u = 4$

$u = 4$

2. Чтобы найти $x$, подставим в (5) выражение для $y+z+u$ из уравнения (2):

$x + (y+z+u) = 4$

$x + 5 = 4$

$x = 4 - 5$

$x = -1$

3. Чтобы найти $y$, подставим в (5) выражение для $z+u+x$ из уравнения (3):

$y + (z+u+x) = 4$

$y + 6 = 4$

$y = 4 - 6$

$y = -2$

4. Чтобы найти $z$, подставим в (5) выражение для $u+x+y$ из уравнения (4):

$z + (u+x+y) = 4$

$z + 1 = 4$

$z = 4 - 1$

$z = 3$

Таким образом, мы нашли решение системы: $x = -1$, $y = -2$, $z = 3$, $u = 4$.

Ответ: $x = -1, y = -2, z = 3, u = 4$.