Номер 4.75, страница 190 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.5. Решение систем уравнений способом подстановки. Глава 4. Системы уравнений - номер 4.75, страница 190.

Условие.

4.75 Решите систему уравнений:

а) $\begin{cases} x + z = 3 \\ y + z = 1 \\ x + y = 2 \end{cases}$

б) $\begin{cases} x - y = 3y \\ z - 2y = y \\ x - z = 5 \end{cases}$

в) $\begin{cases} x + y + z = 3 \\ x - y + z = 1 \\ x - y - z = 9 \end{cases}$

г) $\begin{cases} x + y - z = 18 \\ x - y = 10 \\ y - z = 6 \end{cases}$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x + z = 3 \\ y + z = 1 \\ x + y = 2 \end{cases} $
Сложим все три уравнения системы:
$(x + z) + (y + z) + (x + y) = 3 + 1 + 2$
$2x + 2y + 2z = 6$
Разделим обе части уравнения на 2:
$x + y + z = 3$
Теперь, чтобы найти каждую переменную, будем вычитать из полученного уравнения каждое из исходных уравнений системы.
Чтобы найти $y$, вычтем первое уравнение ($x + z = 3$) из нового уравнения:
$(x + y + z) - (x + z) = 3 - 3$
$y = 0$
Чтобы найти $x$, вычтем второе уравнение ($y + z = 1$) из нового уравнения:
$(x + y + z) - (y + z) = 3 - 1$
$x = 2$
Чтобы найти $z$, вычтем третье уравнение ($x + y = 2$) из нового уравнения:
$(x + y + z) - (x + y) = 3 - 2$
$z = 1$
Проверим решение, подставив значения в исходную систему:
$2 + 1 = 3$ (Верно)
$0 + 1 = 1$ (Верно)
$2 + 0 = 2$ (Верно)

Ответ: $(2; 0; 1)$

б)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x - y = 3y \\ z - 2y = y \\ x - z = 5 \end{cases} $
Сначала упростим первые два уравнения, выразив $x$ и $z$ через $y$.
Из первого уравнения: $x = 3y + y \Rightarrow x = 4y$.
Из второго уравнения: $z = y + 2y \Rightarrow z = 3y$.
Теперь подставим полученные выражения для $x$ и $z$ в третье уравнение системы:
$(4y) - (3y) = 5$
$y = 5$
Теперь, зная значение $y$, найдем $x$ и $z$:
$x = 4y = 4 \cdot 5 = 20$
$z = 3y = 3 \cdot 5 = 15$
Проверим решение:
$20 - 5 = 15$ и $3 \cdot 5 = 15$ (Верно)
$15 - 2 \cdot 5 = 5$ и $y = 5$ (Верно)
$20 - 15 = 5$ (Верно)

Ответ: $(20; 5; 15)$

в)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x + y + z = 3 \quad (1) \\ x - y + z = 1 \quad (2) \\ x - y - z = 9 \quad (3) \end{cases} $
Решим систему методом сложения (вычитания) уравнений.
Вычтем из первого уравнения второе:
$(x + y + z) - (x - y + z) = 3 - 1$
$x + y + z - x + y - z = 2$
$2y = 2$
$y = 1$
Сложим второе и третье уравнения:
$(x - y + z) + (x - y - z) = 1 + 9$
$2x - 2y = 10$
$x - y = 5$
Подставим найденное значение $y = 1$ в это уравнение:
$x - 1 = 5$
$x = 6$
Теперь подставим значения $x = 6$ и $y = 1$ в первое уравнение исходной системы, чтобы найти $z$:
$6 + 1 + z = 3$
$7 + z = 3$
$z = 3 - 7$
$z = -4$
Проверим решение:
$6 + 1 + (-4) = 3$ (Верно)
$6 - 1 + (-4) = 1$ (Верно)
$6 - 1 - (-4) = 9$ (Верно)

Ответ: $(6; 1; -4)$

г)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x + y - z = 18 \\ x - y = 10 \\ y - z = 6 \end{cases} $
Решим систему методом подстановки.
Из второго уравнения выразим $x$ через $y$:
$x = 10 + y$
Из третьего уравнения выразим $z$ через $y$:
$z = y - 6$
Теперь подставим эти выражения для $x$ и $z$ в первое уравнение системы:
$(10 + y) + y - (y - 6) = 18$
$10 + y + y - y + 6 = 18$
$y + 16 = 18$
$y = 18 - 16$
$y = 2$
Теперь, зная $y$, найдем $x$ и $z$:
$x = 10 + y = 10 + 2 = 12$
$z = y - 6 = 2 - 6 = -4$
Проверим решение:
$12 + 2 - (-4) = 18$ (Верно)
$12 - 2 = 10$ (Верно)
$2 - (-4) = 6$ (Верно)

Ответ: $(12; 2; -4)$