Номер 4.69, страница 189 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.5. Решение систем уравнений способом подстановки. Глава 4. Системы уравнений - номер 4.69, страница 189.

Условие.

4.69 Решите систему уравнений:

а) $\begin{cases} x + y = 12 \\ xy = 32; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x - y = 4 \\ xy = 12; \end{cases}$

в) $\begin{cases} y = x + 2 \\ 4y + x^2 = 8; \end{cases}$

г) $\begin{cases} y^2 + 2x - 4y = 0 \\ 2y - x = 2; \end{cases}$

д) $\begin{cases} 2x - y^2 = 5 \\ x + y^2 = 16; \end{cases}$

е) $\begin{cases} x^2 - 3y = -5 \\ x^2 - y = 1. \end{cases}$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Дана система уравнений:$\begin{cases}x + y = 12 \\xy = 32\end{cases}$

Это симметричная система, которую можно решить с помощью теоремы, обратной теореме Виета. Переменные $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$.

Подставим значения из системы:$t^2 - 12t + 32 = 0$

Решим это квадратное уравнение через дискриминант:$D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 32 = 144 - 128 = 16$$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{12 \pm 4}{2}$

Корни уравнения:$t_1 = \frac{12 + 4}{2} = 8$$t_2 = \frac{12 - 4}{2} = 4$

Так как система симметрична, пары решений $(x, y)$ будут $(8, 4)$ и $(4, 8)$.

Ответ: (8; 4), (4; 8).

б)

Дана система уравнений:$\begin{cases}x - y = 4 \\xy = 12\end{cases}$

Выразим $x$ из первого уравнения: $x = 4 + y$.

Подставим это выражение во второе уравнение:$(4 + y)y = 12$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному виду:$4y + y^2 = 12$$y^2 + 4y - 12 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64$$y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{-4 \pm 8}{2}$

Корни для $y$:$y_1 = \frac{-4 + 8}{2} = 2$$y_2 = \frac{-4 - 8}{2} = -6$

Теперь найдем соответствующие значения $x$, используя $x = 4 + y$:

Если $y_1 = 2$, то $x_1 = 4 + 2 = 6$.

Если $y_2 = -6$, то $x_2 = 4 + (-6) = -2$.

Ответ: (6; 2), (-2; -6).

в)

Дана система уравнений:$\begin{cases}y = x + 2 \\4y + x^2 = 8\end{cases}$

Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе (метод подстановки):$4(x + 2) + x^2 = 8$

Раскроем скобки и упростим уравнение:$4x + 8 + x^2 = 8$$x^2 + 4x = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Вынесем $x$ за скобки:$x(x + 4) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:$x_1 = 0$ или $x + 4 = 0 \Rightarrow x_2 = -4$.

Найдем соответствующие значения $y$ по формуле $y = x + 2$:

Если $x_1 = 0$, то $y_1 = 0 + 2 = 2$.

Если $x_2 = -4$, то $y_2 = -4 + 2 = -2$.

Ответ: (0; 2), (-4; -2).

г)

Дана система уравнений:$\begin{cases}y^2 + 2x - 4y = 0 \\2y - x = 2\end{cases}$

Из второго уравнения выразим $x$:$2y - 2 = x$, то есть $x = 2y - 2$.

Подставим это выражение в первое уравнение:$y^2 + 2(2y - 2) - 4y = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:$y^2 + 4y - 4 - 4y = 0$$y^2 - 4 = 0$

Решим это простое уравнение:$y^2 = 4$$y_1 = 2$, $y_2 = -2$.

Найдем соответствующие значения $x$ по формуле $x = 2y - 2$:

Если $y_1 = 2$, то $x_1 = 2(2) - 2 = 4 - 2 = 2$.

Если $y_2 = -2$, то $x_2 = 2(-2) - 2 = -4 - 2 = -6$.

Ответ: (2; 2), (-6; -2).

д)

Дана система уравнений:$\begin{cases}2x - y^2 = 5 \\x + y^2 = 16\end{cases}$

Воспользуемся методом сложения, так как коэффициенты при $y^2$ противоположны. Сложим левые и правые части уравнений:$(2x - y^2) + (x + y^2) = 5 + 16$$3x = 21$

Отсюда находим $x$:$x = \frac{21}{3} = 7$

Подставим найденное значение $x=7$ во второе уравнение системы, чтобы найти $y$:$7 + y^2 = 16$$y^2 = 16 - 7$$y^2 = 9$

Отсюда $y$ имеет два значения:$y_1 = 3$ и $y_2 = -3$.

Ответ: (7; 3), (7; -3).

е)

Дана система уравнений:$\begin{cases}x^2 - 3y = -5 \\x^2 - y = 1\end{cases}$

Воспользуемся методом вычитания, чтобы исключить $x^2$. Вычтем из первого уравнения второе:$(x^2 - 3y) - (x^2 - y) = -5 - 1$$x^2 - 3y - x^2 + y = -6$$-2y = -6$

Отсюда находим $y$:$y = \frac{-6}{-2} = 3$

Подставим найденное значение $y=3$ во второе уравнение системы, чтобы найти $x$:$x^2 - 3 = 1$$x^2 = 1 + 3$$x^2 = 4$

Отсюда $x$ имеет два значения:$x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Ответ: (2; 3), (-2; 3).